Предел функции одной переменной. Определение функции. Терминология. Пусть Х, y некоторые множества. Опр

4.3.2. Свойства сходящейся последовательности.
Сформулируем и докажем ряд свойств сходящейся последовательности (т.е. последовательности, имеющей предел).
4.3.2.1. Если последовательность постоянна (т.е. а_n=const=C для n), то она имеет предел, и этот предел равен числу С.
Док-во. Неравенство | а_n-C |=0< выполняется для n,, т.е. выполняются условия определения предела.
4.3.2.2. Последовательность может иметь только один предел.
Док-во. От противного: предположим, что последовательность имеет два предела: и . Предположим для определённости, что b>a. Возьмём в качестве  любое число, меньшее, чем (b-a)/2. Так как , то, по определению предела последовательности, N₁: n> N₁ a-<a_n < a+<a+(b-a)/2=(a+b)/2. Так как , то N₂: n> N₂ (a+b)/2= b-(b-a)/2<b-<a_n < b+. Возьмём N=max{ N₁, N₂}. Тогда при n> N одновременно должны выполняться неравенства a_n < (a+b)/2 и a_n > (a+b)/2, что невозможно.
4.3.2.3. Если последовательность сходится, то она ограничена.
Док-во. Пусть  . Возьмём =1. N: n> N a-1<a_n < a+1. Итак, все члены последовательности, начиная с N+1, ограничены снизу числом a-1, сверху - числом a+1. Вне окрестности U₁(a) точки a может лежать не более N членов. Возьмём в качестве нижней границы число М₁=min{a₁,a₂,a₃,…,a_N,a-1}, в качестве верхней границы число М₂=max{a₁,a₂,a₃,…,a_N,a+1}. Тогда М₁ a_n М₂, т.е. последовательность действительно ограничена.
Обратное утверждение неверно. Последовательность ограничена: 1 a_n<2, но предела не имеет (подпоследовательность членов с нечётными индексами сходится к числу 1, с чётными - к числу 2, последовательность в целом предела не имеет). Однако если мы дополнительно потребуем, чтобы последовательность была монотонной, то существование предела будет обеспечено:
4.3.2.4. Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она сходится (т.е. имеет предел).
4.3.2.5. Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится.
Док-во. Докажем утверждение 4.3.2.4. (4.3.2.5 доказывается аналогично). Так как множество чисел ограничено сверху, оно имеет точную верхнюю грань . По свойствам точной верхней грани 1. a_n a; 2. для >0 существует элемент множества a_N такой, что a_N>a-. Если n> N, то a-< a_N a_n(вследствие монотонного возрастания) a<a+. Итак, для >0 мы нашли такое N, что при n> N имеет место a-<a_n<a+, т.е. доказали, что  .
Приведём без доказательства ещё один факт, касающийся ограниченных последовательностей: