4.3.2.6. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Опр. 4.3.3. Последовательность называется фундаментальной, если она удовлетворяет следующему условию: для >0 существует число N такое, что для любых n1, n2> N выполняется неравенство | an1 - an2 |<.
4.3.2.7. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
Док-во. Необходимость. Пусть последовательность сходится, и её предел равен a. Возьмём >0. N: n> N | a-an |< . Возьмём любые n1, n2> N. Тогда и | a-an1 |< , и
| a-an2 |< . Оценим | an1-an2 |: | an1-an2 |=| an1-a+a-an2 |=| (an1-a)-(a n2-a) | |an1-a | +
+ |a n2-a |< + = последовательность фундаментальна.
Достаточность строго доказывать не будем, приведём идею доказательства. Если последовательность фундаментальна, то она ограничена (доказывается аналогично свойству 4.3.2.3), следовательно из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу a. Далее показывается, что это число будет пределом всей последовательности .
Далее будет сформулирован ряд свойств, касающихся арифметических действий с последовательностями и пределами. Эти свойства легко доказываются с применением бесконечно малых величин; мы докажем эти свойства позже, когда будем изучать пределы функций. Для функций также будет доказан ряд других свойств, справедливых и для последовательностей (теоремы о сохранении знака предела, о переходе к пределу в неравенстве и т.д.; см. пункт 4.4.4. Свойства функций, имеющих предел). Если даны последовательности , , то символом будем обозначать последовательность, получающуюся из умножением всех её членов на постоянную величину С=const. Символами будем обозначать последовательности, получающиеся из , , соответственно, почленным сложением, умножением, делением исходных последовательностей. Тогда:
4.3.2.8. Если последовательность сходится, то сходится последовательность , и
=С (постоянный множитель можно выносить за знак предела);
Do'stlaringiz bilan baham: |
