Предел функции одной переменной. Определение функции. Терминология. Пусть Х, y некоторые множества. Опр

Опр.4.4.2. Пусть {x_n | x_nX, x_n a} - последовательность точек области определения функции f(x), сходящаяся к точке а. Если для любой такой последовательности {x_n} последовательность значений функции { f(x_n)} сходится к числу b, то b называется пределом f(x) при xа. (В МГТУ опр.3.4.1 принято называть определением Коши, опр.3.4.2 - определением Гейне).
Докажем эквивалентность определений 4.4.1 и 4.4.2.
Утв.1. Если в смысле опр. 4.4.1, то число b - предел f(x) при xа и в смысле опр. 4.4.2.
Док-во. Пусть {x_n} сходится к а, требуется доказать, что { f(x_n)} сходится к b, т.е. что для >0 N: n>N  | f(x_n)-b |< (в предположении, что выполняются условия опр. 4.4.1). Возьмём >0. : 0<| x-a |<  | f(x)-b |<. Так как x_nа при n , то  N: n>N  | x_n-a |<
|f(x_n)-b |<. Нужное N найдено.
Утв.2. Если в смысле опр. 4.4.2, то число b - предел f(x) при xа и в смысле опр. 4.4.1.
Док-во от противного. Мы предположим, что требования опр. 4.4.1 не выполняются, и построим последовательность {x_n}, сходящуюся к а, для которой { f(x_n)} не сходится к b. Если требования опр. 4.4.1 не выполняются, то >0, для которого в любой проколотой -окрестности точки а найдётся точка x, в которой | f(x)-b |>. Возьмём ₁=1.  x₁а: 0<| x₁-a |<₁, но | f(x₁)-b |>. Возьмём ₂x₁-a |}.  x₂: 0<| x₂-a |<₂, но |f(x₂)-b |>. Возьмём ₃x₂-a |}.  x₃: 0<| x₃-a |<₃, но |f(x₃)-b |>. Вообще на n-ом шаге возьмём _nn,
|x_n-1-a |}.  x_n: 0<| x_n-a |<_n, но |f(x_n)-b |>, и т.д. Мы получили, что x_nа при n (так как
| x_n-a |<1/ n), но | f(x_n)-b|>, т.е. { f(x_n)} не сходится к b. Противоречие получено.
Рассмотрим ещё два примера.

4. 
   ( график этой функции приведен слева; х0). Докажем, что эта функция не имеет предела при х0. В каждой точке последовательности f(x_n)=0, в к аждой точке последовательности f(x_n)=1, разные последовательности дают разные пределы не существует.
   

5. Функция Римана
Как следует из графика, приведённого на стр.17, в любой -окрестности точки при < содержится не более чем конечное число значений функции, т.е. при рациональном значении аргумента х=а не существует. Если х=а иррационально, то вне любой -полосы |x|< лежит не более чем конечное число точек графика, т.е. .
4.4.1.2. Предел функции на бесконечности.
Опр.4.4.3. Пусть область определения Х функции f(x) неограничена. Число b называется пределом функции при х, стремящемся к , если для любого числа >0 существует такое число K, что если хХ удовлетворяет условию | x |> K, то значение функции f(x) принадлежит -окрестности числа b.
Обозначения: ; f(x) b при x ; .
К раткая форма записи: .
Пример: докажем, что . при . Если взять  K> , то при | x |>K будет , что и требуется.
Задание. 1. Самостоятельно сформулировать определение на языке последовательностей. 2.Сформулировать условие отсутствия .
4.4.2. Односторонние пределы функции.
Опр.4.4.4. Число b называется пределом функции f(x) при ха справа (или правым, правосторонним пределом), если для любого числа >0 существует такое число , что если хХ удовлетворяет неравенству a < x<а +, то | f(x)-b |<.
Обозначения: ; f(x) b при x а+0; ; f(а+0).
Опр.4.4.5. Число b называется пределом функции f(x) при ха слева (или левым, левосторонним пределом), если для любого числа >0 существует такое число , что если хХ удовлетворяет неравенству a- < x<а, то | f(x)-b |<.
Обозначения: ; f(x) b при x а-0; ; f(а-0).
Односторонние пределы на бесконечности:
Опр.4.4.6. Число b называется пределом функции f(x) при х+, если для любого числа >0 существует такое число K, что если хХ удовлетворяет неравенству x>K, то | f(x)-b |<.
Обозначения: ; f(+).
Опр.4.4.7. Число b называется пределом функции f(x) при х-, если для любого числа >0 существует такое число K, что если хХ удовлетворяет неравенству x<K, то | f(x)-b |<.
Обозначения: ; f(-).

. Для примера рассмотрим функцию

В точке х=0 эта функция не определена; найдём односторонние пределы при х0. При х+0 (т.е. справа) (-1/х) -, е^(-1/^х^)0, f(x) 2+3/4=11/4. При х-0 (т.е. слева) (-1/х) +, е^(-1/^х^) +, 3/(4+ е^(-1/^х^)) 0, f(x) 2. Таким образом

Найдем пределы этой функции при х. И при х-, и при х+ получим (-1/х) 0, е^(-1/х)1, f(x) 2+3/5=13/5.
Связь между пределом функции и односторонними пределами устанавливает
Теор. 4.4.1. Для того, чтобы существовал (или ), необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны односторонние пределы.
Док-во. Необходимость. Пусть  . Для 0 : 0<| x-a |< | f(x)-b |<. Но тогда | f(x)-b |< и при 0< x-a <(0< x< a +), и при -< x-a <0(a -< x<0), т.е. выполняются условия определений , , следовательно, оба односторонние предела существуют и равны между собой.
Достаточность. Пусть  ,  . Возьмём 0. Первый предел обеспечивает существование ₁: a< x < a +₁| f(x)-b |<. Аналогично второй предел обеспечивает существование ₂: a -₂< x<0| f(x)-b |<. Выберем 1, ₂}. Тогда при 0<| x-a |< для x>a будет выполняться первое неравенство, для всех x<a - второе. В обоих случаях |f(x)-b |<, т.е.  , и этот предел равен числу b.
Задание 3. Самостоятельно сформулировать определение односторонних пределов на языке последовательностей. 4.Сформулировать условие отсутствия односторонних пределов.
4.4.3. Бесконечно большие функции.
Опр.4.4.8. Функция f(x) называется бесконечно большой при ха, если .
Обозначение: .
Опр.4.4.9. Функция f(x) называется положительной бесконечно большой при ха, если .
Опр.4.4.9. Функция f(x) называется отрицательной бесконечно большой при ха, если .
Такие же определения даются для случаев ха+0, ха-0, х+, х-.
Пример: бесконечно большая при х0, положительная бесконечно большая при х+0, отрицательная бесконечно большая при х-0. Коротко эти свойства записываются с применением символики пределов так: , , . Тем не менее, когда мы в дальнейшем будем говорить "пусть f(x) имеет предел при ", всегда будем предполагать, что этот предел конечен (противный случай будет специально подчёркиваться).
Если функция бесконечно большая, то она очевидно не ограничена. Но не всякая неограниченная функция - бесконечно большая. На графике справа изображена функция на отрезке [0.01, 0.1]. Эта функция неограничена на полуинтервале (0,1] (знаменатель 0), но в любой окрестности точки 0 имеются точки, в которых f(x)=0, т.е. f(x) не бесконечно большая.
Д ля бесконечно больших функций будем применять аббревиатуру ББ.
Задание. 6. Самостоятельно перебрать все возможные варианты определений ББ (положительных ББ, отрицательных ББ) при ха+0, ха-0, х+ и т.д. Сформулировать эти определения на языке последовательностей.
4.4.4. Свойства функций, имеющих предел.
Теор. 4.4.2 (о единственности предела). Если функция имеет предел при ха, то этот предел единственен.
Док-во от противного. Пусть функция имеет два предела при ха: b₁ и b₂, b₁ b₂, пусть b₂> b₁. Возьмём <( b₂- b₁ )/2. ₁: 0<| x-a |<₁ | f(x)- b₁ |<-< f(x)- b₁<b₁-< f(x)< b₁+ f(x)< b₁+< b₁+( b₂- b₁ )/2=( b₁+ b₂ )/2. Аналогично ₂: 0<| x-a |<₂ | f(x)- b₂ |<-< f(x)- b₂<b₂-< f(x)< b₂+ f(x)> b₂-> b₂-( b₂- b₁ )/2=( b₁+ b₂ )/2. Таким образом, при
0<| x-a|1,₂}должно быть одновременно f(x)< ( b₁+ b₂ )/2 и f(x)> ( b₁+ b₂ )/2, что невозможно - получено противоречие.