Предел функции одной переменной. Определение функции. Терминология. Пусть Х, y некоторые множества. Опр

4.4.7.2. Второй замечательный предел. Изучая пределы последовательностей, мы доказали, что  . Распространим это доказательство на случай действительной переменной, докажем, что . Пусть n=E(x), тогда n x <n+1. Если x +, то и n, поэтому можем считать n >1. Из неравенства вследствие монотонного возрастания степенной функции с аргументом и степенью >1, получим . Предел правого члена при n равен числу е, предел левого тоже равен числу е. По теор. 4.4.6 о пределе промежуточной функции  , и он тоже равен числу е. Далее, , и снова применяя теор. 4.4.6 о пределе промежуточной функции, получаем, что существует и равен числу е.
Пусть теперь x -. Введём новую переменную y=-x-1,тогда x=-y-1, и y+ при x -. . Доказано, что односторонние пределы при x  существуют и равны(по теор. 4.4.1)  .
4.4.7.2.1. Эквивалентная форма второго замечательного предела: (сводится к предыдущему случаю заменой ).
4.4.7.3. Следствия из замечательных пределов. Рассмотрим еще несколько важных пределов.
4.4.7.3.1. . Док-во: .
4.4.7.3.2. . Док-во: . (Здесь мы пользуемся непрерывностью функции .) Следствие: 4.4.7.3.2.1. .
4.4.7.3.3. . Док-во: заменим переменную .
Следствие: 4.4.7.3.3.1. .
4.4.7.3.4. . Док-во: заменим переменную .
4.4.7.3.5.
4.4.7.3.6.
4.4.8. Сравнение поведения функций при ха. Главная часть функции.
Здесь мы определим символику, которая применяется в математической и технической литературе для сравнительного описания поведения функций вблизи предельной точки.