Предел функции одной переменной. Определение функции. Терминология. Пусть Х, y некоторые множества. Опр

Определения. 4.4.8.1. f(x)g(x) (f(x) эквивалентна g(x)) при ха, если f(x)= s(x)g(x), где s(x)1 при ха. Если g(x)0 в окрестности точки а, то f(x)g(x), если =1.
В остальных определениях мы не будем писать ха, но это везде подразумевается. Всё, что будет рассматриваться, верно и в случаях ха-0, ха+0 и т.д. В скобках будут даваться равносильные определения для случая, когда g(x)0 в окрестности точки а.
4.4.8.2. f(x)=О(g(x)) (О большое от g(x)), если f(x)= s(x)g(x), где s(x) ограничена в некоторой окрестности точки а. (f(x)=О(g(x)), если отношение f(x)/g(x) ограничено в окрестности точки а.)
4.4.8.3. f(x)=о(g(x)) (О малое от g(x)), если f(x)= (x)g(x), где (x) - БМ функция. ( .)
4.4.8.4. f(x)=О(1) - функция, ограниченная в некоторой проколотой окрестности точки а.
4.4.8.5. f(x)=о(1) - БМ функция (f(x) 0 при ха.)
Перечислим ряд очевидных свойств введённых отношений (обязательно осмыслить!).
4.4.8.1. Если f(x)g(x), то g(x)f(x).
4.4.8.2. Если f(x)g(x), g(x)h(x), то f(x)h(x).
4.4.8.3. Если f(x)g(x), h(x)s(x), то f(x)h(x)g(x)s(x).
4.4.8.4. Если , то f(x)L.
4.4.8.5. Если f(x)=o(g(x)), то f(x)=O(g(x)).
4.4.8.6. Если f(x)g(x), то o(f(x))=o(g(x)).
4.4.8.7. O(O(f(x)))= O(f(x)); O(o(f(x)))= o(O(f(x)))= o(f(x)); o(o(f(x)))= o(f(x)).
4.4.8.8. g(x)(O(f(x)))= O(g(x)f(x)); g(x)(o(f(x)))= o(g(x)f(x)).
4.4.8.9. O(f(x)) O(f(x))= O(f ²(x)); O(f(x)) o(f(x))= o(f ²(x)); o(f(x)) o(f(x))= o(f ²(x)).
4.4.8.10. O(f(x))+O(f(x))= O(f(x)); O(f(x))+o(f(x))= O(f(x)); o(f(x))+o(f(x))= o(f(x)).
4.4.8.11. Из этих свойств и теоремы 4.4.10.2 о пределе разности функций следует:
f(x)g(x) f(x)-g(x)=о(f(x)); f(x)g(x) f(x)-g(x)=о(g(x)).
Условие f(x)g(x) f(x)-g(x)=о(g(x)) можно записать так: f(x)g(x) f(x)=g(x)+о(g(x)).
Опр. 4.4.8.6. Если функцию f(x) можно представить в виде f(x)=g(x)+о(g(x)), то функция g(x) называется главной частью функции f(x).
4.4.9. Сравнение бесконечно малых функций.
В предыдущем разделе введены определения, описывающие поведение при ха произвольных функций. Здесь мы уточним эти определения для случая бесконечно малых функций. Поведение БМ функций сравнивается, если существует конечный или бесконечный предел их отношения. Итак, пусть (х)0, (х)0 при ха и пусть  .
Опр. 4.4.9.1. Если - конечное число, отличное от нуля, то БМ функции (х) и (х) называются бесконечно малыми одного порядка.
Опр. 4.4.9.2. Если =0, то БМ (х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с (х) ((х) называется бесконечно малой низшего порядка по сравнению с (х)). Обозначение: (х) = о((х)).
Опр. 4.4.9.3. Если =1, то БМ (х) и (х) называются эквивалентными. Обозначение: (х)(х); если (х)(х), то (х)(х).
Эквивалентные БМ интенсивно используются и в теории, и при решении задач, поэтому докажем два утверждения об этих величинах.
Теор. 4.4.9.1. (Необходимое и достаточное условие эквивалентности БМ). Для того, чтобы БМ функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была БМ функцией высшего порядка по сравнению с каждой из них.
Док-во. Необходимость. (х)(х) =1 0 . Достаточность.   =1.
Теор. 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные.
Пусть (х) ₁(х), (х)₁(х) - БМ функции. Тогда .
Док-во.
.
Опр. 4.4.9.4. Если при некотором k>0, то БМ (х) называется БМ
k-го порядка малости по сравнению с (х).
Если (х) - БМ к-го порядка по сравнению с (х), то (х)C(х)^k(х)=C(х)^k+o((x)), т.е. функция C(х)^k - главная часть функции (х). В этом случае также (х)=C(х)^k+o((х)^k).
При решении задач часто применяется следующее очевидное
Утверждение. Сумма конечного числа БМ функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
4.4.10. Таблица эквивалентных бесконечно малых.
Здесь мы с помощью рассмотренных в 4.4.7 пределов составим таблицу эквивалентных БМ функций и выпишем следующие из них выражения для главных частей (они подчёркнуты).

Эквивалентность при х0	Главная часть при х0
1. sin x  x	1. sin x = x+o(x)
2. 1 - cos x  x^2/2	2. 1 - cos x = x^2/2+o(x^2)cos x = 1- x^2/2+o(x^2)
3. tg x  x	3. tg x = x+o(x)
4. arcsin x  x	4. arcsin x = x+o(x)
5. arctg x  x	5. arctg x = x+o(x)
6. a^x-1  x ln a; e^x-1  x	6. a^x–1 = x ln a+o(x) a^x = 1+ x ln a+o(x) e^x –1 = x+o(x) ) e^x = 1+ x +o(x)
7. loga (1+x)  x logae; ln(1+x)  x	7. loga (1+x) = x logae+o(x); ln(1+x) = x+o(x)
8. (1+x)^a-1  a x	8. (1+x)^a- 1 = a x+o(x) (1+x)^a=1 + a x+o(x)
9. sh x  x	9. sh x = x+o(x)
10. ch x - 1  x^2/2	10. ch x - 1= x^2/2+o(x^2) ch x = 1 + x^2/2+o(x^2)

4.4.11. Бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно больших функций и связь с бесконечно малыми функциями.
В разделе 4.4.3 мы определили функции ББ, положительные ББ, отрицательные ББ и ввели обозначения : , , . Напомним одно из них.
Опр.4.4.8. f(x) при ха (ха+0, ха-0, х, х+, х-)   .
Теор. 4.4.11.1 о связи ББ и БМ функций. Пусть функции F(x) и (x) связаны соотношением F(x)= . F(x) - ББ тогда и только тогда, когда (x) -БМ.
Док-во. Необходимость. Пусть F(x) - ББ, докажем, что - БМ. Возьмём . По определению ББ, для М=1/ : 0<| x-a |<| F(x) |> М. Тогда , т.е. (x) удовлетворяет определению БМ.
Достаточность доказывается аналогично необходимости.
Итак, связь между ББ и БМ функциями достаточно простая. Поэтому кратко перечислим факты, относящиеся к сравнению ББ функций и аналогичные определениям и теоремам для БМ.
Опр. 4.4.11.1. Если - конечное число, отличное от нуля, то ББ функции F(х) и G(х) называются бесконечно большими одного порядка роста при ха.
Опр. 4.4.11.2. Если =0, то ББ G(х) называется бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с F(х) (F(х) называется бесконечно большой низшего порядка по сравнению с G(х)). Обозначение: F(x) = o(G(x)).