Предел функции одной переменной. Определение функции. Терминология. Пусть Х, y некоторые множества. Опр

f(x)  .

Таким образом, в простейших случаях рецепт для выделения главной части вида С₀(х-а)^k БМ при ха функции f(x) состоит в следующем: f(x) надо представить в виде f(x)= , где . Тогда , и - главная часть функции f(x) при ха.
Аналогично изложенному выше, с заменой (х-а)^k на , формулируются утверждения и правило для выделения главной части функции, бесконечно малой при х.
Рассмотрим ряд примеров на выделение главной части и определение порядка малости функций (в скобках указываются применённые формулы табл. 4.4.10):
1. . Представим f(x) в виде . Если , то , поэтому , k=1 – порядок малости f(x) при х0.
2. . Представим f(x) в виде . Если , то , поэтому , k=2 – порядок малости f(x) при х по сравнению с .
3. . С помощью формул 4,6 таблицы 4.4.10 представим f(x) в виде . Здесь , , поэтому , k=1 – порядок малости f(x) при х0.
4. . Так как f(-2) = 0, то , и многочлен делится на х + 2 без остатка. Произведя деление, получим . Так как и f₁(-2) = 0, то , поэтому , где . Результат: , - главная часть f(x), k=2 – порядок малости f(x) при х-2.
5. .  , где . Поэтому , - главная часть , k=5/6 (относительно БМ ) при .
В следующих задачах решение излагается более кратко.
6.

7. .

8. .

9.

Неаккуратность при решении последнего примера даст результат
верный, но бесполезный.
10. Пусть х +0. Тогда

Если рассматривается случай ха  0, часто полезно сделать замену переменной у= х-а.
Пример:
11. Пусть х2. Найти главную часть БМ функции (убедитесь, что f(x) 0 при х2). Перейдём к переменной у= х-2 х= у+2; у0 при х2. Меняем в функции х на у+2:

Так как у0, мы пришли к задаче, рассмотренной в примере 2. Ответ: , при х2.
12. Для функции, представляющей собой линейную комбинацию степенных выражений легко показать, что при х0 f(x) эквивалентна своему слагаемому с минимальной степенью: f(x) : и все слагаемые, кроме последнего, стремятся к нулю при х0, так как при i=1,2,…,k-1.
При х f(x) эквивалентна своему слагаемому с максимальной степенью f(x) : и все слагаемые, кроме первого, стремятся к нулю при х, так как при i=2,…,k.