Предел функции одной переменной. Определение функции. Терминология. Пусть Х, y некоторые множества. Опр

Док-во от противного. Пусть , , и пусть b₁<b₂. Возьмём
<( b₂- b₁ )/2. ₂: 0<| x-a |<₂ | f(x)- b₂ |<-< f(x)- b₂<b₂-< f(x)< b₂+ f(x)> b₂-> b₂-( b₂- b₁ )/2=( b₁+ b₂ )/2. Аналогично ₁: 0<| x-a |<₁ | g(x)- b₁ |<- < g(x)- b₁<b₁-< g(x)< b₁+ g(x)< b₁+< b₁+( b₂- b₁ )/2=( b₁+ b₂ )/2. Таким образом, при 0<| x-a |1,₂}должно быть f(x)> ( b₁+ b₂ )/2, g(x)< ( b₁+ b₂ )/2 что противоречит условию f(x)g(x).
Теор. 4.4.6 (о пределе промежуточной функции). Если в некоторой окрестности точки а функции f(x), g(x), h(x) удовлетворяют неравенству f(x)g(x) h(x), функции f(x), h(x) имеют пределы при ха, и эти пределы равны: , то и функция g (x) имеет предел при ха, и этот предел тоже равен числу b.
Док-во. ₁: 0<| x-a |<₁ | f(x)- b |< -< f(x)- b<b-< f(x)< b+ f(x)> b-. ₂:
0<| x-a |<₂ | h(x)- b₂ |< -< h(x)- b<b-< h(x)< b+ h(x)< b+. Таким образом, при
0<| x-a |1,₂}= будет b-<f(x)g(x) h(x) < b+| h(x)- b |<, т.е. g(x) имеет предел, равный числу b.
Задание. Утверждения этого раздела сформулированы для случая ха. Самостоятельно сформулировать и доказать их для других случаев (односторонних пределов, пределов на бесконечности).
4.4.5. Бесконечно малые (БМ) функции.
Опр. 4.4.10. Функция f(x) называется бесконечно малой при хa, если .
БМ функции принято обозначать греческими буквами:(х), (х) и т.д, так и будем делать. Перевод определения на язык -:
(х) - БМ при хa  { : 0<| x-a |<|(х)|<}.
БМ обладают всеми свойствами функций, имеющих предел. В этом разделе мы изучим специфические свойства БМ.
Теор. 4.4.7. Произведение БМ на ограниченную функцию - БМ функция.
Док-во. Пусть (х) - БМ при хa, f(x) ограничена в окрестности точки a. Требуется доказать, что (х) f(x) - БМ при хa. С>0: | f(x) |х)|</C
| (х) f(x)|<, т.е. (х) f(x) действительно БМ при хa.
Теор. 4.4.8. Алгебраическая сумма конечного числа БМ функций - БМ функция.
Док-во. Пусть (х), (х) - БМ при хa. Требуется доказать, что (х) (х) - БМ при хa. 0 ₁: 0<| x-a |<₁|(х)|</2; ₂: 0<| x-a |<₂|(х)|</2. Если взять 0<| x-a |2,₁}=, то | (х) (х)| | (х) |+ | (х)| /2+/2=, т.е. (х) (х) действительно БМ при хa.
Следствие: Линейная комбинация БМ функций - БМ функция.
Докажем теорему, которой придётся часто пользоваться и которая, в основном, объясняет причину выделения БМ функций в отдельный класс:
Теор. 4.4.9 (о связи функции с её пределом). Для того, чтобы функция f(x) имела предел, равный b, при хa, необходимо и достаточно, чтобы f(x) представлялась в виде f(x)= b+(х) , где (х) - БМ при при хa.
Док-во. Необходимость. Пусть  . Обозначим (х)= f(x) - b, докажем, что (х) - БМ при при хa. По определению предела 0 : 0<| x-a |<| f(x) - b |=|(х)|<, т.е. (х) удовлетворяет определению БМ.
Достаточность. Для доказательства достаточно прочитать доказательство необходимости в противоположном порядке.
4.4.6. Арифметические действия с пределами.
Теорема 4.4.10. Пусть функции f(x), g(x) имеют предел при хa, С=const. Тогда имеют пределы функции С f(x), f(x)g(x), f(x)g(x), ( если ), и
4.4.10.1. ;
4.4.10.2. ;
4.4.10.3. ;
4.4.10.4. .
Док-во основано на теор. 4.4.9 о связи функции с её пределом. Пусть ,  f(x)=b₁+(х), g(x)=b₂+(х), где (х), (х) - БМ. Тогда:
4.4.10.1. Сf(x)=Сb₁+С(х); С(х) - БМ по теор. 4.4.7 .
4.4.10.2. ; (х)(х) - БМ
 .
4.4.10.3. . Выражение в квадратных скобках - БМ (теор. 4.4.3, 4.4.7, 4.4.8)  .
4.4.10.4. Оценим : . В числителе стоит БМ, функция - ограничена при (почему?)  .
С двумя функциями можно произвести ещё следующие действия: возвести f(x) в степень g(x) и взять их суперпозицию. Для степени f(x)^g(x) оказывается, что если существуют конечные , , то существует , это следствие непрерывности показательной и логарифмической функций; и этот вопрос будет рассмотрен ниже. Для суперпозиции функций оказывается, что существование пределов внешней и внутренней функций недостаточно для существования предела сложной функции. Более точно, если х=g(t) имеет предел а при t t₀, функция y=f(x) имеет предел при x  а, то может не существовать. Пример: пусть . Очевидно,  . Пусть .  . Для последовательности точек ; если выбрать последовательность , не попадающую в эти точки, то . Две последовательности дают разные пределы не существует. Дальше мы увидим, что существование предела сложной функции обеспечивает непрерывность внешней функции.
4.4.7. Замечательные пределы.
4 .4.7.1. Первый замечательный предел. Так принято называть . Докажем, что он равен единице. 1. Докажем, что sin| x |.| x | (достаточно доказать это при х>0). Рассмотрим круг радиуса 1 с центром в точке О. В качестве переменной х будем брать центральный угол, отсчитываемый в радианах от радиуса ОА. Тогда длина дуги АВ =х, длина отрезка ВD =sin х, sin х< х (при х 0; перпендикуляр - кратчайшее расстояние от точки до прямой). 2. Сравним площади треугольников OBА, OCA и сектора OBA: S(тр.OBА)OBA)OCA). Выразим эти площади: (CA=tg x). Делим это выражение на : . Мы получили эти неравенства в предположении х>0, но вследствие четности входящих в них выражений они верны при любом знаке х. 3. Переворачиваем эти неравенства: . cos x1 при х0, предел правой части тоже равен 1, по теор. 3.4.5 о пределе промежуточной функции  .
Следствия: .