Предел функции одной переменной. Определение функции. Терминология. Пусть Х, y некоторые множества. Опр

Опр. 4.4.11.3. Если =1, то ББ G(х) и F(х) называются эквивалентными.
Теор. 4.4.11.2. (Необходимое и достаточное условие эквивалентности ББ). Для того, чтобы ББ функции F(х) и G(х) были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие F(х) - G(х) = о(F(х)) (или F(х) - G(х) = о(G(х)).
4.5. Решение задач на вычисление пределов.
4.5.1. Непосредственное вычисление пределов.
1. В простейших случаях нахождение предела сводится к подстановке предельного значения аргумента в функцию: если f(x) - элементарная функция, определённая в точке а, то , например ;
2. , если f(х)0 при ха;
3. , если f(х) при ха;
4. , если g(х)0, f(х)  при ха, например и т.д.
Найдём ряд пределов, которые понадобятся впоследствии:

5. 
   Докажем, что . При х + и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности, поэтому пределы такого типа называются неопределённостями . А).При справедливо неравенство (оно справедливо при n=2, далее, по индукции: пусть оно верно при произвольном n, тогда n +1< n + n = 2n <2 , т.е. оно верно и при n +1). Следствие: , т.е. последовательность ограничена. Б). Рассмотрим последовательность .
   

(как предел произведения ограниченной и бесконечно малой последовательностей). В). Пусть х - произвольное вещественное число, x>0. Тогда , где Е(х) - целая часть числа х. Обозначим Е(х)=n. . Устремим х +, тогда и n . Предел постоянной 0 равен этой постоянной, предел правой части . По теореме 4.4.6 о пределе промежуточной функции , что и требовалось доказать. Легко видеть, что это доказательство с небольшими изменениями воспроизводится, если заменить число 4 любым числом а>1, поэтому будем считать доказанным, что при а>1.

5. 
   при а>1 легко сводится к предыдущему. Пусть , тогда , у + при х +, и .
   

7. Как следствие при а>1, b>1.
8. (неопределённость ) также сводится к первому из рассмотренных пределов. Пусть у=1/х. Тогда х=1/у, у + при х +0, ln x=ln(1/y)=-ln y, поэтому .