Лекция 4: общие теоремы динамики точки
Download 0.6 Mb. Pdf ko'rish
|
Лекция 4
- Bu sahifa navigatsiya:
- Количество движения точки Количеством движения
- импульсом материальной точки
- Элементарный и полный импульс силы.
- Теорема об изменении количества движения точки. Теорема.
- Теорема импульсов
- Момент количества движения точки.
- Моментом количеством движения
- Теорема об изменении момента количества движения точки. Теорема.
- Работа силы. Мощность.
- Элементарная работа силы
- Кинетическая энергия точки Кинетической энергией материальной точки
- Теорема об изменении кинетической энергии точки. Теорема.
- Принцип Даламбера для материальной точки
|
Лекция 4:ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ Для решения многих задач динамики вместо непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений движения оказывается более эффективным пользоваться так называемыми общими теоремами, которые являются следствием основного закона динамики.
произведению массы точки m на ее скорость v .
m q Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной точки. Проекции количества движения точки на прямоугольные декартовы оси координат равны:
, y m v m q y y , z m v m q z z Единицей измерения количества движения в СИ является – с Н с м кг 1 / 1
Элементарный и полный импульс силы. Действие силы F на материальную точку в течении времени dt можно охарактеризовать элементарным импульсом силы dt F S d . Полный импульс силы F за время t , или импульс силы S , определяется по формуле
dt F S t 0 . (Полный интеграл за время t от элементарного импульса). В частном случае, если сила
постоянна и по величине , и по направлению ( const F ), t F S . Проекции импульса силы на прямоугольные декартовы оси координат равны: dt F S t x x 0
F S t y y 0
F S t z z 0
Единицей измерения импульса в СИ является – с Н 1
Теорема. Производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе. Запишем основной закон динамики
в виде F dt v d m . Так как масса постоянна, то внесем ее под знак производной. Тогда
dt ) v m ( d ,
(*) что и требовалось доказать. В проекциях на координатные оси уравнение (*) можно представить в виде:
x x F v m dt d ) (
y y F v m dt d ) (
z z F v m dt d ) (
Теорема импульсов (в дифференциальной форме). Дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку. Умножим левую и правую части уравнения (*) на dt и получим
(**) В проекциях на координатные оси получаем: x x x S d dt F d v m d ) ( ,
y y S d dt F d v m d ) ( ,
z z S d dt F d v m d ) ( .
точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за этот же промежуток времени. Интегрируя обе части уравнения (**) по времени в пределах от нуля до
получаем: S v m v m 0 В проекциях на координатные оси получаем: x x x S v m v m 0 , y y y S v m v m 0 , z z z S v m v m 0 Момент количества движения точки. В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движущейся точки вместо самого количества движения рассматривают его момент относительно какого-либо центра или оси. Эти моменты определяются также как и моменты силы. Моментом количеством движения материальной точки 0
О называется вектор, определяемый равенством
0 0
Момент количества движения точки называют также кинетическим моментом. Момент количества движения относительно какой-либо оси Oz , проходящий через центр О, равен проекции вектора количества движения 0
) cos( k ) v m ( M k z z 0 . Если количество движения v m задано своими проекциями z y x v m v m v m
,
, на оси координат и даны координаты
точки m в пространстве, то момент количества движения 0
относительно начала координат вычисляется следующим образом: k ) v m y v m x ( j ) v m x v m z ( i ) v m z v m y ( k v m v m y x j v m v m x z i v m v m z y v m v m v m z y x k j i k x y z x y z y x x z z y z y x
0 Проекции момента количества движения 0
) v m x v m z ( k z x y
) v m y v m x ( k x y z
Единицей измерения количества движения в СИ является – с м Н с / м кг 1 1 2 . Теорема об изменении момента количества движения точки. Теорема. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра. ) ( )) ( ( 0 0
M v m M dt d Доказательство: Продифференцируем момент количества движения по времени ) a m ( r v m v ) v m ( dt d r v m dt r d ) v m r ( dt d 0 v m v ,
r ) a m ( r , следовательно F r ) v m r ( dt d , (*)
что и требовалось доказать. Теорема. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какой-либо оси, равна моменту действующей на точку силы относительно той же оси. Для доказательства достаточно спроектировать векторное уравнение (*) на эту ось. Для оси Oz это будет выглядеть так:
) (F M dt dk z z
Следствия из теорем: 1. Если момент силы относительно точки равен нулю, то момент количества движения относительно этой точки величина постоянная. 0 ) ( 0 F M , const v m r v m M k ) ( ) ( 0 0
2. Если момент силы относительно оси равен нулю, то момент количества движения относительно этой оси величина постоянная. 0 ) (
M z , const v m M k z z ) (
Одна из основных характеристик силы, оценивающих действие силы на тело при некотором его перемещении. Элементарная работа силы скалярная величина равная произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение.
.
) cos( ds F dA ,
- ds и F угол между
Единицей измерения работы в СИ является – Дж м Н 1 1
При 0
0 dA , F
при 0
0 dA , F
Частные случаи: ds F dA
, 0 0
0 , 90 0 dA
ds F dA
, 180
0
Элементарное перемещение равно дифференциалу радиуса вектора точки приложения силы. Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на элементарное перемещение или на дифференциал радиуса вектора точки приложения силы.
Элементарная работа силы равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки. v dS dt v F dr F dA
Если сила
задана своими проекциями (
) на оси координат и элементарное перемещение задано своими проекциями (
d
d
d
) на оси координат, то элементарная работа силы равна: dz F dy F dx F dA z y x
(аналитическое выражение элементарной работы). Работа силы на любом конечном перемещении M M 0
равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.
M M z y x M M M M dz F dy F dx F ds F dA A 0 0 0 ) ( Мощностью силы называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. В общем случае мощность равна первой производной по времени от работы.
,
F dt dt v F W
Единицей измерения мощности в СИ является –
1 1
В технике за единицу силы принимается с м кГ Вт . с . л 75 736 1 .
Кинетической энергией материальной точки (или ее живой силой) называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости. 2
v m T
Теорема. Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку. dA ) v m ( d 2 2
Доказательство: Основной закон динамики F dt v d m . Умножим левую и правую части уравнения скалярно на r d
справа, получаем r d F r d dt v d m
.
r d F - элементарная работа. ) 2 ( ) ( ) (
2 v m d v v d m dt r d v d m r d dt v d m - дифференциал от кинетической энергии. dA ) v m ( d 2 2 , что и требовалось доказать. Теорема. Производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности, подводимой к этой точке. W ) v m ( dt d 2 2
Теорема. Изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на этом же перемещении. A v m v m 2 2 2 0 2
Уравнение движения материальной точки относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и сил реакции связей имеет вид: R F a m
, F - равнодействующая активных сил, R - равнодействующая сил реакции связей. Силой инерции материальной точки называют произведение массы точки на вектор ускорения, взятое с обратным знаком, т.е. a m Φ . Если использовать понятие силы инерции, то основной закон динамики принимает вид: 0
R F
реакции связей вместе с силой инерции точки образуют равновесную систему сил. Принцип Даламбера называют еще методом кинетостатики. Задачи динамики с помощью этого метода сводятся к задачам статики. Download 0.6 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|