Лекция Предмет «Методика преподавания математики и информатики»

Тема 9. Методические особенности изучения квадратичной функции.
Изучение квадратичной функции начинается с наиболее простого вида этой функции: в 7 классе. Сперва рассматривается частный случай, когда , т.е. функция . Далее устанавливается, что:

6. 
   функция определена для любого значения аргумента, так как каждое число может быть возведено в квадрат;
   
7. 
   функция может принимать только положительные значения и 0;
   
8. 
   график функции, кроме точки , расположен над осью Ох и ось Оу является осью симметрии графика функции (график данной функции называется параболой);
   
9. 
   функция при изменении от 0 до возрастает, а при изменении от до 0 убывает;
   
10. 
    при функция достигает минимума.
    

После этого переходят к рассмотрению функции , где . На одном чертеже строятся графики функции для различных значений , например: , , . Ученики усваивают, что эти функции обладают теми же свойствами, что и функция . Различие только в том, что при графики быстрее поднимаются вверх, а при – медленнее. При функция достигает наименьшего значения; наибольшего значения функция не имеет.
Для построения этих графиков нет необходимости составлять заново таблицу значений. Например, имея график функции , для нахождения графика функции достаточно уменьшить масштаб на оси Оу в два раза.
Необходимо установить общность и различие свойств функции при и . Следует обратить внимание учеников на то, что при функция принимает наибольшее значение при и не имеет наименьшего значения, что при ветви параболы направлены вниз. Полезны упражнения следующего рода: построить график функции , если дан график функции .
Изучение функции и построение ее графика не вызовет затруднений, если сравнить ее с функцией . При функция имеет минимум при ; при функция имеет максимум при . Различие будет в том, что вершина параболы смешается вдоль оси Оу в зависимости от знака с. Полезно предложить учащимся начертить таблицу для различных случаев расположения графиков.
Особенно существенным является вопрос о корнях уравнения , то есть тех значениях аргумента, при которых функция принимает значение, равное нулю.
После изучения функции вида переходят к изучению функции, представляющей полный квадратный двучлен, т.е. функции вида . Этот промежуточный этап облегчает понимание сдвига параболы вправо или влево вдоль оси Ох. Следует проделать с учащимися несколько примеров вида: или .
Ученики должны ясно представлять себе, что парабола обращена ветвями вверх ( ), вершина параболы сдвигается вдоль оси Ох на расстояние, равное 3 единицам, в точке парабола касается оси Ох и при функция достигает минимума. Аналогично исследуется и функция .
Далее в 9 классе переходят к рассмотрению квадратичной функции общего вида: . Усиливается роль аналитического метода исследования функций. Однако этот метод не вытесняет графический, а сочетается с ним. Исследование квадратичной функции полезно увязать с дискриминантом соответствующего квадратного уравнения. В результате исследования ученики могут составить соответствующую таблицу. Преобразования графиков – фильмы.
Расположение графика квадратичной функции на координатной плоскости зависит от коэффициентов . Справедливы следующие утверждения:
1. От числа зависит, в какую сторону направлены ветви параболы: если , то ветви параболы направлены вверх, если , то они направлены вниз.
2. От числа зависит, в какой точке график пересекает ось ординат: если , то парабола пересекает ось ординат выше оси Ох; если , то точка пересечения лежит ниже оси Ох; если , то парабола проходит через начало координат.
3. От чисел и зависит, как расположен график функции относительно оси Оу: если , то вершина параболы смещена влево, если , то вправо.
4. От чисел и зависит, пересекает ли график квадратичной функции ось абсцисс или нет. Если , то парабола ось Ох не пересекает; если , то парабола касается оси Ох; если , то парабола пересекает ось Ох в двух точках.