Limitlar haqida asosiy teoremalar. Bir tomonlama limitlar. Cheksiz kichik va cheksiz kata miqdorlar birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar

9. Ikkinchi ajoyib limit va « » soni
Quyidagi ketma –ketlikni qaraylik, ya`ni:
(1)
Agar bo`lsa,
. (2)
(2) ketma –ketlikning yaqinlashishini ko`rsatamiz. Buning uchun ketma –ketlikning o`suvchi va yuqoridan chegaralanganligini ko`rsatish yetarlidir.
(1) ketma –ketlik uchun Nyuton binomi formulasini qo`llaymiz. U holda:

Bundan
(3)
ni bilan almashtirsak (4) hosil bo`ladi:
(4)
(4)dan ko`rinib turibdiki, da dir. Shuning uchun , ya`ni ketma –ketlik o`suvchi va quyidan chegaralangan. Yuqoridan chegaralanganligini ko`rsatishda (3) ketma –ketlikka murojaat qilamiz. (3)dan ko`rinadiki, har bir qavsning ichi 1 dan kichik. Bundan tashqari, bo`lganda ni hisobga olsak, quyidagini hosil qilamiz:
(5)
Oxirgi ifoda uchun geometrik progressiya hadlarining yig`indisi formulasini qo`llasak:
(6)
hosil bo`ladi. Bu esa yuqoridan chegaralanganligidan dalolat beradi.
Demak, ketma –ketlik o`suvchi va yuqoridan chegaralanganligi uchun u chekli limitga ega bo`ladi. Bunday limitni « » soni deb qabul qilingan. Uning algebraik ifodasi quyidagicha:
(7)
yoki . (7¹)
(7) va (7¹) tengliklarga « » soni yoki ikkinchi ajoyib limit deyiladi. Shuni hisobga olish lozimki, (3) va (6) lardan
(8)
ekanligi kelib chiqadi.
« » soni ga teng bo`lib, u irrasional sondir. (7) ni quyidagi ko`rinishda ham yozish mumkin:
. (9)
10. Natural va o`nli logarifmlar
« » soni asos qilib olingan logarifmlarga «natural logarifm» yoki «Neper logarifm» lari deyiladi va kabi belgilanadi.
Natural logarifmlarga «giperbolik logarifm» lar deb ham aytiladi, chunki ular teng tomonli giperbola yoyi, absissa o`qi va 1 hamda absissalarga mos ordinatalar bilan chegaralangan figuraning yuzi bilan bog`langan.
Kompleks o`zgaruvchili funktsiyalar nazariyasida kompleks sonlarning natural logarifmlari qaraladi:
(1)
10 soni asos qilib olingan logarifmlarga o`nli logarifmlar deyiladi. O`nli va natural logarifmlar quyidagi munosabatlar bilan bog`langandir:
(2)
(3)
Tengliklardagi -natural logarifmlardan o`nli logarifmlarga o`tish modulidir. Bu modul quyidagiga teng:
. (4)
asosli ixtiyoriy logarifm ta`rifidan kelib chiqadigan ayniyatni asosiga nisbatan logarifmlash kifoyadir:
. (5)
Bundan
yoki . (6)