Limitlarni toping

11- §. UZLUKSIZ FUNKSIYALAR. FUNKSIYALARNING UZILISH NUQTALARI
1. Agar tenglik o‘rinli bo‘lsa, funksiya nuqtada uzluksyaz deyiladi.
2. Argumentning va qnymatlari orasidagi ayirma argumentnnng nuqtadagi ortirmasi deyiladi va orqali belgilanadi. Funksiyaning va nuqtalardagi qiymatlarining ayirmasi esa funksiyaning nuq̨tadagi orttirmasi deyiladi va orqali belgilanadi.
Uzluksizllikning ta’rifnni yana qo’yidagicha ifodalash Mumkin:
Agar
tenglik o‘rinli bo‘lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
Teorema. funksiya nuqtada uzluksuz bo‘lishi uchun

qo’sh tenglikning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Agar qo‘sh tenglik biror joyidan buzilsa, nuq̨ta funksiyanitg uzilish nuq̨tasi deyiladi.
funksiyaning uzilish nuqtasi bulsin. Agar va ni bilan, ni bilan belgilash mumkin) bir tomonli chekli limitlar mavjud bo‘lsa, u holda funksiyaning 1- tur uzilish nuqtasi deyiladi. Uzilish nuqtasining bundan boshqa barcha hollari 2- tur uzilish nuqtalari deyiladi.
1- tur uzilish nuqtalari ikki xil bo‘ladi:
a) agar tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda da funksiyaning uzluksizligini tiklash mumkin.
Buning uchun deb olish kegak
b) Arap bo’lsa, u holda funksiya da sakrashga ega deyiladi. Sakrash kattaligi ga teng buuladi.
Agar funksiya intervalning xar bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya intervalda uzluksiz deyiladi.
Agar funksiya intervalda uzluksiz bo‘lib, nuqtaning o‘ng tomonidan, nuqtaning chap tomonidan uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya segmentda uzluksiz deyiladi.
Barcha elementar funksiyalar o‘zlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdir.

219. 
     . Elementar funksiyalar
     

1. 
   2)
   

ning o‘zlarining aniqlanish soxalarida uzluksiz ekanini ko’rsating.
Avval funksiyalarning aniqlanish soxalarini topamiz, so’ngra uzluksizlikning ta’rifidan foydalanib. o‘sha soxada funksiyaning uzluksizligini ko‘rsatamiz.
1) Funksiyaning aniqlanish soxasi ; ni olamiz va unga orttirma berib, funksiyaning nuqtadagi orttirmasini topamiz:

.
Endi bo‘lsin, u holda ning xar qanday qiymatida bo‘ladi.
Demak, uzluksizlikning ta’rifiga ko‘ra berilgan funksiya da uzluksiz bo‘ladi.
2) funksiya sonlar o‘qining , lardan boshqa xamma nuq̧talarida aniqlangan. Xuddi yuqoridagidek muxokama yuritib, funksiya orttirmasi ni, so‘ngra ni topamiz:


bunda
Demak, elementar funksiyaning uzluksizlik sohasi bilan aniqlannsh sohasi bir xil ekan.
Quyyidagi funksiyalarni uzluksizlikka tekshiring, uzilish nuqtalari va ularning turlarini aniqlang. Grafiklarini yasang.
220. 1) 2)
3) 4)
5)
1) funksiya sonlar o‘qining dan boshqa xamma nuqtalarnda aniqlangan. Bu funksiya elementar funksiya bo‘lgani uchun u uzzining aniqlanish soxasnda uzluksizdir. funksiya nuqttalarda aniqlanmagan, shuning uchun_ џi uzilishga tekshiramiz.

a) , demak, nuqtada funksiya 2- tur uzilishga ega.
b) bu xoolda xam 2- tur uzilish mavjud.
E atma. Funksiyani uznlishga tekshirganda , lardan biri yoki chiqsa, ikkinchisini tekshirmasa ham bo’ladi, lekin funksiya grafigini chizishda har ikkalasini hisoblash foydadan holi bo’lmaydi.
funksiyaning grafigi 15-chizmada tasvirlangan.
2) funksiya elementar bo‘lib, u sonlar o‘qining dan boshqa xamma nuqtalarnda aniqlangan. Demak, nuqtada funksiya uzilishga ega. Uzilish xarakterini tekshiramiz:

Demak, funksiya nuqtada 1 - tur uznilishning sakrashga ega bo’lgan holi yuz beradi. Sarkrash kataligi

yuqoridagi funksiyaning grafigi 16- chizmada tasvirlangan.

3) funksiya sonlar o‘qining nuqtasidan boshqa hamma nuqtalarida aniqlangan elementar funksiya. Shuning uchun sonlar o‘qining nuqtasndan boshqa hamma nuqtalarida uzluksiz va nuqtada funksya uzilishga ega. Uzilish xarakterini tekshiramiz:

Demak, da 1- tur uzilishning sakrashga ega bo‘lgan holi. Sakrash kattaligi . funksiyaning grafigi 17- chizmada tasvirlangan.
4) funksiya sonlar o‘qining xamma nuqtalarida aniqlangan, lekin bundan u uzluksiz ham degan ma’no kelib chiqmaydi, chunki funksiya 2 ta har xil formulalar yordamida berilgan noelementar funksyadir. Bu funksiya uning analitik ifodasining o’zgargan nuqtasi

da uzilishga ega bo‘lishi Mumkin, nuqtada funksiyani tekshiramiz.
, chunki ikki nuqtaning chap tomonida , o’ng tomonida . Demak, nuqtada 1- tur uzilishning sakrashga ega bo‘lgan holi beradi va

funksiya nuqtadan boshqa xamma nuqtalarda uzluksizdir, chunki uni tashkil etgan ikkita funksiya elementar uzluksiz funksiyalardir.

funksiyannng grafigi 18-chіzmada tasvirlangan.
5) Elementar bo‘lmagan funksiya sonlar O‘nning nuqtasidan boџqa xamma nuqtalarda aniqlangan. Demak, funksiya nuqtada uzilishga ega.
nuqtada uzilish xarakterini tekshiramiz:

Demak, Funksiya nuqtada 2- tur uzilishga ega. funksiya analitik ifodasining. uzgargan nuqtasi nuqtani tekshiramiz. Bu nuqtada funksiya uzilishga ega bo‘lishi Mumkin.


Shunday qilib, Funksiya nuqtada I-tur uzilishning sakrashga ega bo’lgan holiga ega va sakrash kattaligi

Son o’qining boshqa nuqtalarida berilgan funksiya uzluksiz. Uning grafigi 19 – chizmada ko’rsatilgan.

Ta’rifga binoan quyidagi funksiyalarining uzluksizligini isbotlang:

221. 
     . , barcha larda.
     
222. 
     . , Barcha larda.
     
223. 
     . 6archa lapda.
     
224. 
     . , 6apcha larda.
     

Quyidagi funksiyaning uzulish nuqtalari va ularning turlarini aniqlang. Grafiglarini yasang.
225.
226.
227.
228. .
229. .
230.
231. .