Линейная алгебра

Matrisa rangi

• r(A)=3

• a)

• б)

• r(B)=2

• Misol .

• Matritsada elementar almashtirishlar.

• а) nollardan iborat satrni(ustunni) o`chirish;
• b) ikkita parallel satrning (ustunning) o`rinlarini
• almashtirish;

• v) Bir satr(ustun)ning barcha elementlarini biror songa ko`paytirib boshqa satr (ustun)ning mos elementlariga qo`shish;
• g) satr(ustun)ning barcha elementlarini biror noldan farqli bir xil songa ko`paytirish;
• Bu elementar almashtirishlar natijasida hosil bo`lgan matritsaga berilgan matritsaga ekvivalent matritsa deyiladi. Bunda matritsaning rangi o`zgarmaydi.

Matrisa rangi

• Teorema. Agar A matrisa B matrisaga ekvivalent bo’lsa, u holda r(A)=r(B) bo’ladi, ya’ni elementar almashtirishlar matrisa rangini o’zgartirmaydi.
• Teoremaning isboti determinantlarning xossalaridan kelib chiqadi, ya’ni elementar almashtirishlar nol determinantni nolmas determinantga aylantirolmaydi va aksincha.

Matrisa rangi

• Matrisaning tartibi uning rangiga teng bo’lgan determinanti uning bazis minori deyiladi.

• Ekvivalent almashtirishlar matrisa rangini o’zgartirmasligidan, matrisa rangini topish talab etilganda uni uchburchakli ko’rinishga keltiriladi.

• Matrisaning rangi uchburchakli ko’rinishga keltirilgan matrisaning noldan farqli satrlari soniga teng

• Misol

• Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi
• Kroneker – Kapelli teoremasi.

• Quyidagi n tа noma`lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasini qaraymiz.

• (1)

• asosiy matrisa

• kengaytirilgan matrisa

Tenglamalar sistemasini tekshirish

• 1-teorema. (Kroneker - Kapelli). (1)-chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo`lishi uchun asosiy matritsa bilan kengaytirilgan matritsaning rangi teng, ya`ni bo`lishi zarur va yetarli.

• 1) Аgar bo`lsa, tenglamalar birgalikda bo`lmaydi, ya`ni sistema yechimga ega emas;

• 2) Аgar bo`lsа (1)-tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega;

• 3) Аgar bo`lsa (1) tenglamalar sistemasi cheksiz ko`p yechimga ega;