Линейная алгебра

ОБЩИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Рассмотрим систему уравнений Ax =b с произвольной матрицей A. Исследуем вопрос о ее совместности и количестве решений.
ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ.
Для того, чтобы система уравнений Ax =b была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы равнялся рангу ее расширенной матрицы.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
1) Пусть система уравнений Ax =b является совместной. Докажем, что ранг r _A матрицы A равняется рангу r _Ã расширенной матрицы Ã.
Представим матрицы A и Ã как системы их векторов столбцов

A 1,A 2, … ,A n

(1)

и

A 1, A 2, … ,A n , b

(2)

соответственно. Ранг матрицы A равен рангу системы векторов (1), а ранг матрицы Ã равен рангу системы векторов (2). Поскольку система векторов (1) является подсистемой системы векторов (2), то r _A  r _Ã.
Так как система Ax =b является совместной, то существует вектор x ^ = , координаты которого удовлетворяют данной системе, или, в векторном виде, имеет место равенство x ₁^*A ₁ + x ₂^*A ₂ + … + x _n^*A _n =b. Отсюда следует, чтоb  L (A ₁,A ₂ , … ,A _n ) и, следовательно,
A ₁,A ₂ , … ,A _n ,b  L (A ₁,A ₂ , … ,A _n ). По свойствам ранга системы векторов r _Ã  r _A. Но так как r _A  r _Ã , то r _A = r _Ã .
2) Пусть теперь r _A = r _Ã = r. Докажем, что система Ax =b является совместной. Согласно определению базиса системы векторов базисы систем (1) и (2) содержат по r векторов. ПустьA ₁, A ₂ , … ,A _r — базис системы (1). Тогда эти же векторы будут являться и базисом системы (2). Действительно, векторыA ₁,A ₂ , … ,A _r образуют линейно независимую подсистему системы (2), а поскольку их количество совпадает с рангом системы (2), то они являются базисом этой системы. Следовательно, векторb можно представить в виде линейной комбинации векторовA ₁,A ₂ , …,A _r :
b =  ₁A ₁ +  ₂A ₂ + … +  _rA _r, а также в виде линейной комбинации
b =  ₁A ₁ +  ₂A ₂ + … +  _rA _r + 0A _{r + 1} + … + 0A _n. Справедливость последнего равенства означает, что векторx ^*, координатами которого являются числа  ₁,  ₂ , … ,  _r , 0, … , 0 является решением системы уравнений Ax =b, то есть система Ax =b совместна. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА ОБ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ СЛУ.
Пусть система уравнений Ax =b является совместной, имеет n неизвестных и r _A = r _Ã = r.
Тогда если r = n, то система Ax =b имеет единственное решение, если r < n, то система Ax =b имеет бесконечно много решений.
Переменные, соответствующие линейно независимым столбцам матрицы A, называются базисными переменными. Количество базисных переменных равно r — рангу матрицы A
Остальные переменные системы линейных уравнений называются свободными, количество свободных переменных равно n – r.
Решение системы, в котором ненулевые значения имеют только базисные переменные, называется базисным решением.
В справедливости теоремы об определенности убедимся, рассмотрев алгоритм решения СЛУ с помощью ОЖИ.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Пусть дана система уравнений Ax =b. Перепишем ее в табличном виде: