Линейная алгебра

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ДАННОМ БАЗИСЕ.

Рассматривая понятия базисов подпространства, пространства R ⁿ, системы векторов, заметим, что во всех случаях базис обладает свойством линейной независимости и способностью представлять в виде линейных комбинаций своих векторов векторы подпространства, пространства R ⁿ, системы векторов соответственно. Докажем единственность такого представления.
ТЕОРЕМА.
Любой векторx (подпространства, пространства R ⁿ, системы векторов) представляется в виде линейной комбинации базисных векторов единственным образом.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пустьa ₁,a ₂ ,  ,a _k — данный базис. Предположим, что существуют два различных представления вектораx в виде линейной комбинации базисных векторов:
x =  ₁a ₁ +  ₂a ₂ +  +  _ka _k иx =  ₁a ₁ +  ₂a ₂ +  +  _ka _k .
Посколькуx –x =0, то
 ₁a ₁ +  ₂a ₂ +  +  _ka _k – (  ₁a ₁ +  ₂a ₂ +  +  _ka _k ) =0,
( ₁ –  ₁) a ₁ + ( ₂ –  ₂ )a ₂ + … + ( _k –  _k )a _k =0, откуда, в силу линейной независимости базисных векторов следует, что
 ₁ –  ₁ = 0,  ₂ –  ₂ = 0, …,  _k –  _k = 0 и, следовательно,
 ₁ =  ₁,  ₂ =  ₂, … ,  _k =  _k. Таким образом, рассмотренные разложения вектораx по базису совпадают. Теорема доказана.
Справедливость доказанного утверждения позволяет дать следующее определение.
Координатами вектораx в данном базисе называются коэффициенты в разложении вектораx по данному базису.
Заметим, что координаты вектораx в данном базисе определяются однознач- но, но в разных базисах один и тот же векторx имеет разные координаты.