Литература Сущность рекурсии

Пример 3: Перевод числа в двоичную систему.
Получение цифр двоичного числа, как известно, происходит с помощью деления с остатком на основание системы счисления 2. Если есть число  , то его последняя цифра в его двоичном представлении равна
.
Взяв же целую часть от деления на 2:
,
получим число, имеющее то же двоичное представление, но без последней цифры. Таким образом, достаточно повторять приведенные две операции пока поле очередного деления не получим целую часть равную 0. Без рекурсии это будет выглядеть так:

1 2 3 4 5 6

while x>0 do begin c:=x mod 2; x:=x div 2; write(c); end;

Проблема здесь в том, что цифры двоичного представления вычисляются в обратном порядке (сначала последние). Чтобы напечатать число в нормальном виде придется запомнить все цифры в элементах массива и выводить в отдельном цикле.
С помощью рекурсии нетрудно добиться вывода в правильном порядке без массива и второго цикла. А именно:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

procedure BinaryRepresentation(x: integer); var c, x: integer; begin {Первый блок. Выполняется в порядке вызова процедур} c := x mod 2; x := x div 2; {Рекурсивный вызов} if x>0 then BinaryRepresentation(x); {Второй блок. Выполняется в обратном порядке} write(c); end;

Вообще говоря, никакого выигрыша мы не получили. Цифры двоичного представления хранятся в локальных переменных, которые свои для каждого работающего экземпляра рекурсивной процедуры. То есть, память сэкономить не удалось. Даже наоборот, тратим лишнюю память на хранение многих локальных переменных x. Тем не менее, такое решение кажется мне красивым.
4. Рекуррентные соотношения. Рекурсия и итерация
Говорят, что последовательность векторов  задана рекуррентным соотношением, если задан начальный вектор  и функциональная зависимость последующего вектора от предыдущего

Простым примером величины, вычисляемой с помощью рекуррентных соотношений, является факториал

Очередной факториал  можно вычислить по предыдущему как:

Введя обозначение  , получим соотношение:

Вектора  из формулы (1) можно интерпретировать как наборы значений переменных. Тогда вычисление требуемого элемента последовательности будет состоять в повторяющемся обновлении их значений. В частности для факториала:

1 2 3 4

x := 1; for i := 2 to n do x := x * i; writeln(x);

Каждое такое обновление (x := x * i) называется итерацией, а процесс повторения итераций – итерированием.
Обратим, однако, внимание, что соотношение (1) является чисто рекурсивным определением последовательности и вычисление n-го элемента есть на самом деле многократное взятие функции f от самой себя:

В частности для факториала можно написать:

1 2 3 4 5 6 7

function Factorial(n: integer): integer; begin if n > 1 then Factorial := n * Factorial(n-1) else Factorial := 1; end;

Следует понимать, что вызов функций влечет за собой некоторые дополнительные накладные расходы, поэтому первый вариант вычисления факториала будет несколько более быстрым. Вообще итерационные решения работают быстрее рекурсивных.
Прежде чем переходить к ситуациям, когда рекурсия полезна, обратим внимание еще на один пример, где ее использовать не следует.
Рассмотрим частный случай рекуррентных соотношений, когда следующее значение в последовательности зависит не от одного, а сразу от нескольких предыдущих значений. Примером может служить известная последовательность Фибоначчи, в которой каждый следующий элемент есть сумма двух предыдущих:

При «лобовом» подходе можно написать:

1 2 3 4 5 6 7

function Fib(n: integer): integer; begin if n > 1 then Fib := Fib(n-1) + Fib(n-2) else Fib := 1; end;

Каждый вызов Fib создает сразу две копии себя, каждая из копий – еще две и т.д. Количество операций растет с номером n экспоненциально, хотя при итерационном решении достаточно линейного по n количества операций.
На самом деле, приведенный пример учит нас не КОГДА рекурсию не следует использовать, а тому КАК ее не следует использовать. В конце концов, если существует быстрое итерационное (на базе циклов) решение, то тот же цикл можно реализовать с помощью рекурсивной процедуры или функции. Например:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

// x1, x2 – начальные условия (1, 1) // n – номер требуемого числа Фибоначчи function Fib(x1, x2, n: integer): integer; var x3: integer; begin if n > 1 then begin x3 := x2 + x1; x1 := x2; x2 := x3; Fib := Fib(x1, x2, n-1); end else Fib := x2; end;

И все же итерационные решения предпочтительны. Спрашивается, когда же в таком случае, следует пользоваться рекурсией?
Любые рекурсивные процедуры и функции, содержащие всего один рекурсивный вызов самих себя, легко заменяются итерационными циклами. Чтобы получить что-то, не имеющее простого нерекурсивного аналога, следует обратиться к процедурам и функциям, вызывающим себя два и более раз. В этом случае множество вызываемых процедур образует уже не цепочку, как на рис. 1, а целое дерево. Существуют широкие классы задач, когда вычислительный процесс должен быть организован именно таким образом. Как раз для них рекурсия будет наиболее простым и естественным способом решения.
5. Деревья
Теоретической базой для рекурсивных функций, вызывающих себя более одного раза, служит раздел дискретной математики, изучающий деревья.
5.1. Основные определения. Способы изображения деревьев