Logarifmik tengsizliklar

1. Ko'rsatkichli va logarifmik ifodalarni ayniy almashtirishlar.

Darajaning va ko'rsatkichli funksiyaning xossalaridan logarif­mik va ko'rsatkichli ifodalarni shakl almashtirishlarda foydalaniladi.

1-miso1. 3^2+log₃² ni hisoblang.

Yechish. 3^2+log₃² = 3² *3^log₃² = 9*2 = 18.

2-misol. a^log_b^c =c^log_b^a (a>0, a1, b>0, b0, c> 0) tenglikni isbotlang.

Isbot: Logarifmning log_ab^p = p*log_ab (a > 0, a 1, b>0, pR) xossasidan foydalansak, log_ba*log_bc = log_ba*log_bc tenglikdan log_b(a^log_b^c) = log_b(c^log_b^a) teng­likni hosil qilamiz. Logarifmik funksiyaning monotonlik xossasidan a^log_b^c = c^log_b^a ekanligi kelib chiqadi.

3-miso1. A = log₄ x²/4 - 2log₄(4x⁴) ifodani soddalashtiring va uning x = -2 dagi qiymatini toping.

Yechish. Log_ab²ⁿ = 2nlog|b| (a>0, a1, b0, nN) bo'lgani uchun log₄ x²/4 =log₄x² - log₄4 = 2log₄|x| - 1 va log₄ (4x⁴) = log₄4 + log₄ x⁴ = 1 + 41og₄|x| tengliklar o'rinli.

U holda, A = 2log₄ x| - 1 - 2(1 + 4log₄|x|) = -3 - 61og₄|x|. x = -2 bo'lsa,

A = -3 - 61og₄|- 2 = -3 – 6log₄2 = -6.

4-misol. y = log(x-1/2) + log₂ funksiyaning grafigini yasang.

Yechish. Funksiya ifodasini soddalashtirmay, grafikni yasashga harakat qilish maqsadga muvofiq emas ekan­ligi ko'rinib turibdi. Shu sababli dastlab funksiyaning ifodasini soddalashtiramiz:

Log₂ = log₂= log₂|2x-1| = log₂(2 • x –1/2)= 1 + log₂ x –1/2 tenglik o'rinlidir. Bu yerda funksiyaning aniqlanish sohasi |1/2; + | oraliqdan iboratligini ko'ramiz.

x > ½ da esa log(x-1/2) = - log₂(x–1/2) bo'lgani uchun

5-rasm

y = log(x-1/2)+log₂ = - log₂(x–1/2) + (l + log₂ x -1) = -log₂ (x –1/2) + 1 + log₂ x –1/2 = 1 ga ega bo'lamiz.

Endi funksiya grafigini yasash (5- rasm) qiyinchilik tug'dirmaydi.