Логическая операции

ПРИОРИТЕТ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

• 
  логика, как наука;
  
• 
  алгебра высказываний;
  
• 
  логические операции;
  
• 
  логические функции;
  
• 
  приоритет логических операций;
  
• 
  тождественно истинные и тождественно ложные операции;
  
• 
  основные законы алгебры логики;
  
• 
  доказательство логических законов;
  
• 
  простейшие преобразователи информации;
  
• 
  домашнее задание.
  

Вычисление значений логических выражений выполняется в определенном порядке, согласно их приоритету:
- инверсия
- конъюнкция
- дизъюнкция
- импликация и эквивалентность
Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка дейcтвий используются скобки.
ПРИМЕР 1: А V (B → C) & D = не(A)
Порядок выполнения:
Не(А) - инверсия
В → С - импликация
(В → С) & D - конъюнкция
А V (B → C) & D - дизъюнкция
А V (B → C) & D = не(A)- эквивалентность
Построим таблицу истинности для высказывания
E = (A V не(B)) → не(C)
В высказывание Е входят три переменные: А, В, С (n=3 ) и четыре логические операции: инверсия В, инверсия С, дизъюнкция, импликация.
Таблица истинности будет состоять из 2³ + 2 (заголовок) = 8 +2 = 10 строк и 3 + 4 = 7 столбцов

1	2	3	4	5	6	7
A	B	С	не(В)	не(С)	А v не(В)	А v не(В)→не(С)
0	0	0
0	0	1
0	1	0
0	1	1
1	0	0
1	0	1
1	1	0
1	1	1

ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННЫЕ И ТОЖДЕСТВЕННО ЛОЖНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ

• 
  логика, как наука;
  
• 
  алгебра высказываний;
  
• 
  логические операции;
  
• 
  логические функции;
  
• 
  приоритет логических операций;
  
• 
  тождественно истинные и тождественно ложные операции;
  
• 
  основные законы алгебры логики;
  
• 
  доказательство логических законов;
  
• 
  простейшие преобразователи информации;
  
• 
  домашнее задание.
  

Если сложное высказывание истинно для всех значений входящих в него переменных, то такое высказывание называется ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННЫМ или тавтологией (обозначается константой 1).
НАПРИМЕР высказывание: "Демократ - это человек, исповедующий демократические убеждения" - всегда истинно, то есть является тавтологией.
Все математические, физические и др. законы являются тавтологиями. Например: (а+b)² = a² + 2ab + b²
Прогноз погоды на завтра может быть, например, таким: "Дождь будет или дождя не будет". Такое предсказание будет всегда истинным, хотя вряд ли кого устроит. Его математическая запись:
А V не(А) = 1
(по закону исключенного третьего всегда должно быть истинным либо суждение, либо его отрицание).
Проверить, является ли сложное высказывание тождественно истинным, можно по таблице истинности.
Если сложное высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется ТОЖДЕСТВЕННО ЛОЖНЫМ (обозначается константой 0 ).
НАПРИМЕР, высказывание: "Сегодня среда, а это - второй день недели" является тождественно ложным. Тождественно ложным является и следующее высказывание: "Компьютер включен и компьютер не включен (выключен)". Математическая запись его такова:
A & не(A) = 0
(по закону противоречия: не могут быть одновременно истинны утверждение и его отрицание.)
Если значения сложных высказываний совпадают при всех возможных значениях входящих в них переменных, то такие высказывания называют РАВНОСИЛЬНЫМИ, ТОЖДЕСТВЕННЫМИ, ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ
Упрощение сложных высказываний - это замена высказывания на равносильное ему на основе законов алгебры высказываний
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ (РАВНОСИЛЬНОСТИ) АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

• 
  логика, как наука;
  
• 
  алгебра высказываний;
  
• 
  логические операции;
  
• 
  логические функции;
  
• 
  приоритет логических операций;
  
• 
  тождественно истинные и тождественно ложные операции;
  
• 
  основные законы алгебры логики;
  
• 
  доказательство логических законов;
  
• 
  простейшие преобразователи информации;
  
• 
  домашнее задание.
  

При решении логических задач часто приходится упрощать формулы. Упрощение формул в булевой алгебре производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные законы.
Законы логики высказываний - это такие выражения, которым всегда соответствует истинное высказывание, какие бы подстановки значений мы ни делали вместо переменных. В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде формул.
1.1. Закон тождества:
А = А
- всякая мысль тождественна самой себе, то есть "А есть А", где А – любое высказывание.
2. Закон исключенного третьего:
А V ¬А = 1
- в один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо не А.
НАПРИМЕР. "Число 123 либо четное, либо нечетное, третьего не дано".
Закон исключенного третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жесткой ситуацией: либо-либо, истина-ложь. Там же где встречается неопределенность (например, в рассуждениях о будущем), закон исключенного третьего часто не может быть применен.
Рассмотрим следующее высказывание: "Это предложение ложно". Оно не может быть истинным, потому, что оно утверждает, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон исключенного третьего.
Парадокс (греч. paradoxos - неожиданный, странный) возникает из-за того, что предложение ссылается само на себя. Другим известным парадоксом является задача о парикмахере:
"В одном городе парикмахер стрижет волосы всем жителям, кроме тех, кто стрижет себя сам. Кто стрижет волосы парикмахеру?"
В нашей формальной системе нет возможности ввести такое ссылающееся само на себя истолкование, поэтому мы не можем выразить все возможные мысли и доводы.
3. Закон непротиворечия:
¬(¬ А ^ А) = 1
- не могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание. То есть, если высказывание А - истинно, то его отрицание ¬А должно быть ложным (и наоборот). Тогда их произведение будет всегда ложным.
3a. А ^ ¬А =0.
Именно эта формула часто используется при упрощении сложных логических выражений.
Иногда этот закон формулируется так: два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными.
ПРИМЕР. Е = "На Марсе есть жизнь и на Марсе жизни нет"
4. Закон двойного отрицания:
¬ ¬А = А
- если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание.
НАПРИМЕР: А = "Неверно, что Матроскин не кот"
эквивалентно высказыванию А = "Матроскин - кот".

Заключение

Обобщением называется логическая операция перехода от видового по­нятия к родовому путем исключения из содержания данного видового поня­тия его видообразующего признака.
Т.о., изменяя объем исходного понятия, мы изменяем и его содержание, осуществляя тем самым переход к новому понятию – с боль­шим объемом и меньшим содержанием (обобщение) или с меньшим объе­мом и большим содержанием (ограничение).
Определение (или дефиниция) понятия есть логическая операция, кото­рая раскрывает содержание понятия либо устанавливает значение термина.