Lopital qoidasini keltirib chiqaring

2-teorema. Agar [c;+¥) nurda aniqlangan f(x) va g(x) funksiyalar berilgan bo`lib,
1) (c;+¥) da chekli f`(x) va g`(x) hosilalar mavjud va g`(x)¹0,
2) ;
3) hosilalar nisbatining limiti ( chekli yoki cheksiz) mavjud bo`lsa, u holda funksiyalar nisbatining limiti mavjud va
= (2.3)
tenglik o`rinli bo`ladi.


Isbot. Umumiylikni saqlagan holda, teoremadagi c sonni musbat deb olish mumkin. Quyidagi formula yordamida x o`zgaruvchini t o`zgaruvchiga almashtiramiz. U holda x®+¥ da t®0 bo`ladi. Natijada f(x) va g(x) funksiyalar t o`zgaruvchising va funksiyalari bo`lib, ular (0, ] da aniqlangan. Teoremadagi (2) shartga asosan
bo`ladi.
Ushbu,

m unosabatlardan intervalda hosilalarning mavjudligi kelib chiqadi. So`ngra teoremaning 3) shartiga ko`ra

Demak va funksiyalarga 1-teoremani qo`llash mumkin. Bunda = e`tiborga olsak, (2.3) tenglikning o`rinliligi kelib chiqadi. Teorema isbot bo`ldi.

2. ko`rinishdagi aniqmaslik. Agar x®a da f(x)®¥, g(x)®¥ bo`lsa, nisbat ko`rinishidagi aniqmaslikni ifodalaydi. Endi bunday aniqmaslikni ochishda ham f(x) va g(x) funksiyalarning hosilalaridan foydalanish mumkinligini ko`rsatadigan teoremani keltiramiz.
3-teorema. Agar
1) f(x) va g(x) funksiyalar (a;¥) nurda differensiallanuvchi, hamda g`(x)¹0,
2)
3) mavjud bo`lsa,
u holda mavjud va = bo`ladi.
Isbot. Teorema shartiga ko`ra mavjud. Aytaylik =m bo`lsin. U holda "e>0 sonni olsak ham shunday N>0 son topilib, x³N bo`lganda
(2.3)
tengsizliklar bajariladi. Umumiylikni cheklamagan holda N>a deb olishimiz mumkin. U holda x³N tengsizlikdan xÎ(a;¥) kelib chiqadi.
Aytaylik x>N bo`lsin. U holda [N;x] kesmada f(x) va g(x) funksiyalarga Koshi teoremasini qo`llanib quyidagiga ega bo`lamiz:
, bu yerda N.
Endi c>N bo`lganligi sababli x=c da (2.3) tengsizliklar o`rinli:
,
bundan esa

tengsizliklarga ega bo`lamiz.
Teorema shartiga ko`ra f(N) va g(N) lar esa chekli sonlar. Shu sababli x ning yetarlicha katta qiymatlarida kasr kasrdan istalgancha kam farq qiladi. U holda shunday M soni topilib, x³M larda
m-e< (2.4)
tengsizlik o`rinli bo`ladi.
Shunday qilib, ixtiyoriy e>0 son uchun shunday M soni mavjudki, barcha x³M larda (2.4) tenglik o`rinli bo`ladi, bu esa =m ekanligini anglatadi. Teorema isbot bo`ldi.
Yuqorida isbotlangan teorema x®a (a-son) holda ham o`rinli. Buni isbotlash uchun t= almashtirish bajarish yetarli.
Misol. Ushbu limitni hisoblang.
Yechish. f(x)=lnx, g(x)=x funksiyalar uchun 3-teorema shartlarini tekshiramiz: 1) bu funksiyalar (0,+¥) da differensiallanuvchi; 2) f`(x)=1/x g`(x)=1; 3) =0, ya`ni mavjud. Demak, izlanayotgan limit ham mavjud va =0 tenglik o`rinli.