M atematikada

Download 454.68 Kb.

Sana	09.06.2023
Hajmi	454.68 Kb.
	#1475505

Bog'liq
2 5361833448589763702

^Pask^al^matritsasi
Sahif aning joriy versiyasi hali tajribali mualliﬂar tomonidan ko‘rib chiqilmagan va 2021-yil 10-noyabrd a ko‘ rib chiqilgan versiyadan sezilarli darajada farq qilishi mumkin ; tekshirish uchun1 ta tahrir kerak .
M atematikada , ayniqsa matritsa
nazariyasi va kombinatorikadaPaskal matritsasi cheksiz matritsa bo'lib, uning
elementlari binomial koeﬃtsientlardir .
Matritsad agi elementl arni
joy lashtirish ning uchta varianti mavjud:
yuqori uchburchak s haklid a , pastki
uchburchak yoki simmetrik matritsa . Bunday matritsalarning 5× 5-cheklovlari
^quyidagi^sh^a^klga^ega:
^Yuqori^uchburchak^matritsa:

^pastki^uchburchak^matritsa

^simmetrik^matritsa

Bumatritsalar S _n= L _nU _nmunosabatini qanoatlantiradi . Buyerdan uchburchak matritsalarning L _nva U _ndeterminanti u larning diagonal elementlarining
^{ko‘paytmasiga}^teng^bo‘lgani^uchun^har
^uch^a^la^matritsaning^ha^m^birli^k
d eterminantiga ega ek anlig ini ko‘rish
oson. Boshqachaqilibaytganda, S _n, L _n^va^U_n^matritsalari^unimoduldir^.^L_n^va^U_nmatritsalarning izin ga teng .
^Nosimmetrik^Pask^al^{matritsasining}
^elementlari^quyidagi^s^h^a^klga^ega:

^Ekvivalenti:

Shunday qilib, S matritsaning izi
ⁿ

^ketma^-^{ketliknitashkiletuvch}^{in ga}^qarab^:
1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... OEISda
A006134 ketma -ketligi .

^Bi^no
^Pask^al^matritsasi^maxsus^turdagi
^subdiagonal^yoki^overdiagonal
matritsaning ko'rsatkichini ol ishyo'li bilan
^tuzilishi^mumkⁱⁿ^.^Quyidagi^misol^7×7
matritsalarni quradi, ammo bu usul har qanday n × n Pask al matritsalari uchun
^ishlaydi.^(Nuqtalar^null^elementl^arni
^bildiradi^.)

Важно отметить, что нельзя просто положить exp(A)exp(B) = exp(A + B)
^для^n×n-^матриц^A^и^{B, такое}

^{равенство}^имеет^место^т^олько^при^AB
⁼^BA^(то^есть^когда^{матрицы}^A^и^B
коммутируют). В приведённом

^{построении}^{симметричны}^х^матриц
Паскаля наддиагональные и

поддиагональные матрицы не
^{коммутируют}^.^Таким^об^разом,^нельзя
^{провести}⁽^{возможно)}^{ожидаемое}
упрощение, включающее сумму

матриц .

^{Полезное}^{свойство}^{поддиагональных}
и наддиагональных матриц,

используемое в данном построении -
это их нильпотеность, то есть при
^{возведении}^в^{достаточ}^но^{большую}
целую степень они вырождаются в
нулевую матрицу. (Смотри матрица
сд вига для дальнейших деталей .) Так
^как^обо^б^щённые^n×n-^{матрицы}^сдвиг^а,

которые тут используются,

^{становятся}^{равными}^нулю^при
возведении в степень n, то при
вычислении матричной экспоненты необходимо рассматривать только первый n + 1 член бесконечного ряда,
^чтоб^ы^{получить}^точный^{результат}^.

Варианты
^{Интересные}^{варианты}^могут^б^ыть

получены посредством очевидных
^модиф^икаций^матриц^PL⁷^,^от^{которых}
^{берётся}^{экспонента}^.

^Первый^пример^ниже^{использует}
квадраты значений в PL7вместо

исходных и приводит к построению
^7×7-^{матрицы}^{Лагерра}⁽^{матрицы,}
^{элементами}^{которой}^{являются}
полиномы Лагерра).

⁽^{Матрица}^{Лагерра}^на^самом^де^ле
^{использует}^другое^{масштаб}^{ирование}
^и^знаки^{некоторых}^коэф^{фициентов}^.)
^Второй^пример^{использует}^v(^v⁺¹⁾^в
качестве элементов, если v —
элементы исходной матрицы . Он
приводит к построению 7×7- матрицы Лаха ( матрицы с элементами в виде
чисел Лаха).

^{Использование}^v(v⁻¹⁾^п^{риводит}^к
диагональному сдвигу вниз- вправо .

Третий пример использует квадрат
^{исходной}^PL⁷^-^{матрицы,}^{делёный}^на^2,
^{другими}^{словами:}^б^иноми^альные
^{коэффициенты}^{первого}^{порядка}
на второй поддиагонали и приводит к

построению матрицы, которая

возникает в связи с производными и интегралами от гауссовской функции
ошибок:

^Если^об^ратить^эту^матриц^у⁽^{например,}
снова беря экспоненту, но с другим
знаком), то знаки коэффициентов меняются и дают коэффициенты производных гауссовской функции
^ошибок^.
Другой вариант может б ыть получен при расширении исходной матрицы
на отрицательные числа:

См . также

Треугольник Паскаля
LU-разложение

Литература
^G.^S.^Call^and^D.^J.^Velleman,^"Pascal's
matrices", American Mathematical
Monthly, volume 100, (April 1993)
pages 372 –376
Edelman, Alan & Strang, Gilbert (2004), Pascal Matrices (http://mathdl.maa.or g/images/upload_library/22/Ford/Edel
man189- 197.pdf) , American
Mathematical Monthly Т. 111 (3): 361 –
385,
<http://mathdl.maa.org/images/uploa
d_library/22/Ford/Edel man189-
197.pdf >. Проверено 21 июля 2013. Архивная копия (https://web.archive. org/web/20100704210817/http://math dl.maa.org/images/upload_library/22/
Ford/Edel man189- 197.pdf) от 4
июля 2010 на Wayback Machine

Ссылки
G. Helms Pascal matrix (http://go.helm s-net.de/math/binomial_ new/01_ 1_bin
omial matrix.pdf) in a project of
^compilation^{of facts}^about
binomial&related matrices (http://go.h elms-net.de/math/binomial/index.ht
m)
G. Helms Gauss-matrix (http://go.helm s-net.de/math/binomial/04_ 1_gaussm
atrix.pdf)
Weisstein, Eric W. Gaussian-function (h ttp://mathworld.wolfram.com/Gaussia
nFunction.html)
Weisstein, Eric W. Erf-function (http://m
athworld.wolfram.com/Erf.html)

Weisstein, Eric W. "Hermite
Polynomial." Hermite-polynomials (htt p://mathworld.wolfram.com/HermiteP
o lynomial.html)
^Endl^,^Kurt^"^Ü^ber^eine^ausg^ezeich^nete
^Eigenschaft^der^{Koeﬃzientenmatrizen}
^des^{Laguerreschen}^und^des
^Hermiteschen^{Polynomsystems".}^In:
PERIODICAL VOLUME 65
Mathematische Zeitschrift Kurt Endl (ht tp://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/c gi-bin/dig bib.cgi?PPN266833020_006
5)
^{"Coeﬃcients}^of^unitary^Hermite
polynomial s He_n(x)" in the Online
Encyclopedia of Integer Sequences
A066325 (Related to Gauss-matrix).
Источник —
https://ru.wikipedia.org/w/index.php?
title= Матрица_ Паскаля&oldid=120796005

^Эта^{страница}^в^{последний}^{раз была}
отредактирована 20 марта 2022 в 19:47. •
Если не указано иное, содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 .

Download 454.68 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham: