M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

mavjudligini ko`rsatamiz. Berilgan ε > 0 uchun n

0

nomerni shunday tan-

laymizki, barcha x ∈ K larda

ρ

p

(R

n

0

x, θ) =

Ã

∞

X

j=n

0

+1

|ξ

j

|

p

!

1

p

<

ε

2

tengsizlik bajarilsin. K

n

0

= { S

n

0

x : x ∈ K}

to`plamni qaraymiz. Har bir

x ∈ K

da ρ

p

(R

n

0

x, θ) ≤ ρ

p

(x, θ)

o`rinli va K chegaralangan to`plam

bo`lganligi sababli K

n

0

ham chegaralangan to`plamdir.

Har bir S

n

0

x = (ξ

1

, ξ

2

, . . . , ξ

n

0

, 0, 0, . . .) ∈ K

n

0

nuqtaga ( ξ

1

, ξ

2

, . . . , ξ

n

0

) ∈

R

n

0

p

nuqtani mos qo`yish bilan K

n

0

to`plamni

E

n

0

= { (ξ

1

, ξ

2

, . . . , ξ

n

0

) : (ξ

1

, ξ

2

, . . . , ξ

n

0

, 0, 0, . . .) ∈ K

n

0

} ⊂ R

n

0

p

to`plamga izometrik mos qo`yamiz. K

n

0

chegaralangan to`plam bo`lganligi

sababli E

n

0

to`plam R

n

0

p

da chegaralangan bo`ladi. U holda 21.2-natijaga

ko`ra E

n

0

nisbiy kompakt to`plam bo`ladi. Demak, unga izomorf bo`lgan K

n

0

to`plam ham nisbiy kompaktdir. Shunday ekan, K

n

0

to`plam uchun chek-

li {x

1

, x

2

, . . . , x

k

}

elementli

ε

2

to`r mavjud. Bu to`plam K uchun ε to`r

bo`ladi. Haqiqatan ham, ixtiyoriy x ∈ K uchun S

n

0

x ∈ K

n

0

va shunday

x

i

∈ { x

1

, x

2

, . . . , x

k

}

element mavjud bo`lib,

ρ

p

(S

n

0

x, x

i

) <

ε

2

bo`ladi. U holda

ρ

p

(x, x

i

) = ρ

p

(x, S

n

0

x) + ρ

p

(S

n

0

x, x

i

) =

216

= ρ

p

(R

n

0

x, θ) + ρ

p

(S

n

0

x, x

i

) <

ε

2

+

ε

2

= ε.

Demak, 21.5-teoremaga ko`ra K nisbiy kompakt to`plam bo`ladi.

∆

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

21.8-misolda keltirilgan f

n

ketma-ketlikni C

1

[−1, 1]

fazoda fundamen-

tallikka tekshiring. U yaqinlashuvchi bo`ladimi?

2.

To`la va to`la bo`lmagan metrik fazolarga misollar keltiring.

3.

R

metrik fazoda B

n

=

µ

1 −

1

n

, 1

¶

ichma-ich joylashgan sharlar

ketma-ketligini qaraymiz. Ularning radiuslari ketma-ketligining nolga in-

tilishini ko`rsating. B

n

sharlar ketma-ketligining kesishmasi bo`sh ekan-

ligini isbotlang. B

n

sharlar ketma-ketligi uchun 21.1-teorema shartlari

bajariladimi?

4.

C[a, b]

, C

1

[a, b]

va C

2

[a, b]

metrik fazolarni to`lalikka tekshiring.

5.

C[a, b]

va `

2

metrik fazolarda birlik sharning nisbiy kompakt to`plam

emasligini isbotlang.

6.

R

metrik fazoda A

n

=

µ

1

n

, 1 −

1

n

¶

, n ∈ N

sistema M = (0, 1)

to`plam uchun qoplama bo`lishini ko`rsating. {A

n

}

qoplamadan M ni

qoplovchi chekli qism qoplama ajratish mumkinmi? M kompakt to`plam

bo`ladimi?

22- § . Qisuvchi akslantirishlar prinsipi va uning tadbiqlari

Berilgan shartlarda tenglama yechimining mavjudligi va yagonaligi bilan

bog`liq masalalarni mos metrik fazolardagi biror akslantirishning qo`zg`almas

nuqtasi mavjudligi va yagonaligi haqidagi masala ko`rinishida ifodalash mum-

kin. Qo`zg`almas nuqta mavjudligi va yagonaligi belgilari ichida eng sodda va

217

shu bilan birga juda muhim belgi - bu qisuvchi akslantirishlar prinsipi deb

nomlanuvchi belgidir.

22.1-ta'rif. X metrik fazo va uni o`zini-o`ziga akslantiruvchi A akslan-

tirish berilgan bo`lsin. Agar shunday α ∈ (0, 1) son mavjud bo`lib, barcha

x, y ∈ X

nuqtalar uchun

ρ (Ax, Ay) ≤ α ρ (x, y)

(22.1)

tengsizlik bajarilsa, A qisuvchi akslantirish deyiladi.

Har bir qisuvchi akslantirish uzluksizdir. Haqiqatan ham, agar x

n

→ x

(ρ (x

n

, x) → 0)

bo`lsa, u holda

0 ≤ ρ (Ax

n

, Ax) ≤ α ρ (x

n

, x)

bo`lgani uchun lim

n→∞

ρ (Ax

n

, Ax) = 0

bo`ladi.

Agar A : X → X akslantirish uchun shunday x ∈ X nuqta mavjud

bo`lib, Ax = x tenglik bajarilsa, x nuqta A akslantirishning qo`zg`almas

nuqtasi deyiladi.

22.1-teorema (Qisuvchi akslantirishlar prinsipi). To`la metrik fazoda aniq-

langan har qanday qisuvchi akslantirish yagona qo`zg`almas nuqtaga ega.

Isbot. X metrik fazodan ixtiyoriy x

0

nuqtani olamiz. Keyin x

1

= Ax

0

, x

2

=

Ax

1

= A

2

x

0

, x

3

= Ax

2

= A

3

x

0

, . . . , x

n

= Ax

n−1

= A

n

x

0

, . . .

nuqtalar

ketma-ketligini qaraymiz. Ixtiyoriy n < m natural sonlar uchun

ρ (x

n

, x

m

) = ρ (A

n

x

0

, A

m

x

0

) ≤ α

n

ρ (x

0

, x

m−n

) ≤

≤ α

n

(ρ (x

0

, x

1

) + ρ (x

1

, x

2

) + · · · + ρ (x

m−n−1

, x

m−n

)) ≤

≤ α

n

ρ (x

0

, x

1

)

¡

1 + α + α

2

+ · · · + α

m−n−1

¢

≤ α

n

1

1 − α

ρ (x

0

, x

1

)

tengsizlik o`rinli. α ∈ (0, 1) bo`lgani uchun

lim

n→∞

α

n

(1 − α)

−1

ρ (x

0

, x

1

) = 0.

218

Shuning uchun {x

n

}

ketma-ketlik fundamentaldir. X to`la metrik fazo va

{x

n

}

fundamental ketma-ketlik bo`lgani uchun u yaqinlashuvchi. Aytaylik,

lim

n→∞

x

n

= x

bo`lsin. U holda A akslantirishning uzluksizligiga ko`ra

Ax = A lim

n→∞

x

n

= lim

n→∞

Ax

n

= lim

n→∞

x

n+1

= x .

Shunday qilib, A akslantirish uchun qo`zg`almas nuqta mavjud ekan. Uning

yagonaligini isbotlaymiz. Agar

Ax = x, Ay = y

desak, (22.1) tengsizlikka ko`ra

ρ (x, y) = ρ (Ax, Ay) ≤ α ρ (x, y) .

Bundan α ∈ (0, 1) bo`lgani uchun

ρ (x, y) (1 − α) ≤ 0 ⇒ ρ (x, y) = 0

ya'ni x = y bo`lishi kelib chiqadi. Qo`zg`almas nuqta yagona ekan.

∆

22.1. Qisuvchi akslantirishlar prinsipining tadbiqlari

Qisuvchi akslantirishlar prinsipini har xil tipdagi tenglamalar yechimlari

mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremalarni isbotlashda qo`llash mumkin.

Qisuvchi akslantirishlar prinsipi Ax = x tenglama yechimi mavjudligi va ya-

gonaligini isbotlash uchungina qo`llanib qolmay, bu tenglama yechimini topish

usulini ham beradi.

Qisuvchi akslantirishlar prinsipining tadbig`iga doir misollar qaraymiz.

22.1-misol. R

n

fazoni o`zini-o`ziga akslantiruvchi va

(Ax)

i

=

n

X

j=1

a

ij

x

j

+ b

i

, i = 1, 2, . . . , n

219

formulalar orqali aniqlangan A akslantirishning qisuvchilik shartlarini toping.

Yechish. Qanday shartlarda A qisuvchi akslantirish bo`ladi? Bu savolga

javob fazoda qanday metrika berilishiga bog`liq. Biz quyida uch xil variantni

qaraymiz:

a) R

n

∞

fazo, ya'ni ρ(x, y) = max

1≤i≤n

|x

i

− y

i

|

bo`lsin.

ρ(y

0

, y

00

) = max

1≤i≤n

|y

0

i

− y

00

i

| = max

1≤i≤n

¯

¯

¯

¯

¯

n

X

j=1

a

ij

¡

x

0

j

− x

00

j

¢

¯

¯

¯

¯

¯

≤

≤ max

1≤i≤n

n

X

j=1

| a

ij

|

¯

¯ x

0

j

− x

00

j

¯

¯ ≤

≤ max

1≤i≤n

n

X

j=1

| a

ij

| · max

1≤j≤n

¯

¯ x

0

j

− x

00

j

¯

¯ =

Ã

max

1≤i≤n

n

X

j=1

| a

ij

|

!

ρ (x

0

, x

00

) .

Bu yerdan kelib chiqadiki, A qisuvchi akslantirish bo`lishi uchun

max

1≤i≤n

n

X

j=1

| a

ij

| = α < 1

(22.2)

shartning bajarilishi yetarli. Shuning uchun R

n

∞

fazoda (22.2) shartni A aks-

lantirishning qisuvchilik sharti sifatida qabul qilamiz.

b) R

n

1

fazo, ya'ni ρ(x, y) =

n

P

i=1

|x

i

− y

i

|

bo`lsin. U holda

ρ(y

0

, y

00

) =

n

X

i=1

| y

0

i

− y

00

i

| =

n

X

i=1

¯

¯

¯

¯

¯

n

X

j=1

a

ij

¡

x

0

j

− x

00

j

¢

¯

¯

¯

¯

¯

≤

≤

n

X

i=1

n

X

j=1

| a

ij

|

¯

¯ x

0

j

− x

00

j

¯

¯ =

n

X

j=1

Ã

n

X

i=1

| a

ij

|

!

·

¯

¯x

0

j

− x

00

j

¯

¯ ≤

≤

Ã

max

1≤j≤n

n

X

i=1

| a

ij

|

!

·

n

X

j=1

¯

¯x

0

j

− x

00

j

¯

¯ ≤

Ã

max

1≤j≤n

n

X

i=1

| a

ij

|

!

· ρ (x

0

, x

00

) .

Bu yerdan ko`rinadiki, A akslantirish uchun qisuvchilik sharti R

n

1

fazoda

max

1≤j≤n

n

X

i=1

| a

ij

| = α < 1

(22.3)

220

ko`rinishga ega.

c) R

n

fazo, ya'ni

ρ(x, y) =

v

u

u

t

n

X

i=1

(x

i

− y

i

)

2

bo`lsin. U holda

ρ

2

(y

0

, y

00

) =

n

X

i=1

(y

0

i

− y

00

i

)

2

=

n

X

i=1

Ã

n

X

j=1

a

ij

¡

x

0

j

− x

00

j

¢

!

2

≤

n

X

i=1

Ã

n

X

j=1

| a

ij

|

2

!

n

X

j=1

¡

x

0

j

− x

00

j

¢

2

≤

Ã

n

X

j=1

n

X

i=1

| a

ij

|

2

!

ρ

2

(x

0

, x

00

) .

Yuqorida keltirilgan tenglik va tengsizliklarga ko`ra R

n

fazoda A akslantirish-

ning qisuvchilik sharti

n

X

j=1

n

X

i=1

| a

ij

|

2

≤ α < 1

(22.4)

ko`rinishga ega.

Shunday qilib, agar (22.2) - (22.4) shartlardan birortasi bajarilsa, u holda

yagona x = ( x

1

, x

2

, . . . , x

n

)

nuqta mavjud bo`lib,

x

i

=

n

X

j=1

a

ij

x

j

+ b

i

, i = 1, 2, . . . , n

bo`ladi. Bundan tashqari bu nuqtada ketma-ket yaqinlashishlar quyidagi ko`ri-

nishga ega

x

(k)

i

=

n

X

j=1

a

ij

x

(k−1)

j

+ b

i

, x

(k)

=

³

x

(k)

1

, x

(k)

2

, . . . , x

(k)

n

´

, k = 1, 2, 3 . . . .

Bu yerda x

(0)

=

³

x

(0)

1

, x

(0)

2

, . . . , x

(0)

n

´

sifatida R

n

dagi ixtiyoriy nuqtani qabul

qilish mumkin.

Qaralayotgan y = Ax akslantirish qisuvchi bo`lishi uchun (22.2)-(22.4)

shartlarning ixtiyoriy birining bajarilishi yetarli. Isbotlash mumkinki, (22.2)

221

va (22.3) shartlar mos ravishda R

n

∞

va R

n

1

fazolarda y = Ax akslantirish

qisuvchi bo`lishi uchun zarur ham bo`ladi.

Ta'kidlash lozimki, (22.2) - (22.4) shartlarning birortasi ham ketma-ket

yaqinlashishlar usulining tadbig`i uchun zarur emas.

Agar |a

ij

| < n

−1

bo`lsa, u holda (22.2) - (22.4) shartlarning hammasi

bajariladi va ketma-ket yaqinlashishlar usulini qo`llash mumkin.

Agar |a

ij

| ≥ n

−1

bo`lsa, u holda (22.2) - (22.4) shartlarning birortasi ham

bajarilmaydi.

22.2. Qisuvchi akslantirishlar prinsipining

integral tenglamalarga tadbiqi

Fredholm tenglamasi. Qisuvchi akslantirishlar prinsipini ushbu

f (x) = λ

Z

b

a

K(x, y) f (y) dy + ϕ(x)

(22.5)

ikkinchi tur Fredholm integral tenglamasi yechimining mavjudligi va yago-

naligini isbotlash uchun qo`llaymiz. Bu yerda K integral tenglama yadrosi,

ϕ−

berilgan funksiya, f− izlanayotgan (noma'lum) funksiya, λ esa haqiqiy

parametr.

Ko`rsatamizki, qisuvchi akslantirishlar prinsipini λ parametrning yetar-

licha kichik qiymatlarida qo`llash mumkin.

Faraz qilamiz, K(x, y) − [a, b]×[a, b] kvadratda uzluksiz funksiya bo`lsin.