M u n d a r I j a

α)
ni olamiz. Endi asosiy trigonometrik ayniyatga
ko’ra, berilgan ifodani
sin
4
α+2 sin
2
α·cos
2
α+cos
4
α = (sin
2
α+cos
2
α)
2
shaklda yozish mumkin. Yana bir marta asosiy
ayniyatdan foydalansak, berilgan ifodaning qiy-
mati 1 ga tengligini olamiz. Javob: 1 (C).
15.
(99-8-80) sin
2
x+cos
2
x+tg
2
x ni soddalashtiring.
A) −
1
cos
2
x
B) −
1
sin
2
x
C)
1
sin
2
x
D)
1
cos
2
x
16.
(97-1-47) Soddalashtiring.
(ctgα − cos α) ·
³ sin
2
α
cos α
+ tgα
´
A) cos
2
α
B) tgα
C)
1
cos α
D) ctg
2
α
17.
(98-1-55) Soddalashtiring:
3 sin
2
α + cos
4
α
1 + sin
2
α + sin
4
α
A) 2 sin α
B) 2
C) ctg
2
α
D) 1
18.
(98-8-55) Soddalashtiring.
1 + cos
2
α + cos
4
α
3 cos
2
α + sin
4
α
A) 3
B) 2
C) 1
1
2
D) 1
19.
(02-4-30) Soddalashtiring.
(tgx + ctgx)
2
− (tgx − ctgx)
2
A) 0
B) −4
C) −2
D) 4

141
20.
(02-7-39) Soddalashtiring.
(sin α + cos α)
2
+ (sin α − cos α)
2
− 2
A) 0
B) 4
C) 2 sin 2α
D) 1
21.
(01-1-69) Agar sin x + cos x = 0, 5 bo’lsa,
16(sin
3
x + cos
3
x) ni toping.
A) 8
B) 14
C) 11
D) 16
Yechish: Ikki son kublarining yig’indisi formu-
lasidan va asosiy ayniyatdan foydalansak
sin
3
x + cos
3
x = (sin x + cos x)(1 − sin x · cos x)
ni olamiz. Masala sharti sin x + cos x = 0, 5 va
sin x · cos x =
1
2
¡
(cos x + sin x)
2
− 1
¢
tenglikdan foydalansak, berilgan ifoda ucun
16 · 0, 5(1 − cos x sin x) = 16 ·
1
2
µ
1 +
1
2
·
3
4
¶
= 11
ni olamiz. Javob: 11 (C).
22.
(00-2-45) Agar ctgα =
13
4
bo’lsa,
2 cos α + sin α
cos α − 2 sin α
kasrning qiymatini toping.
A) 6
B) 5
C) 6, 2
D) 4, 8
23.
(03-8-55) Agar cos x =
1
√
10
bo’lsa,
(1 + tg
2
x)(1 − sin
2
x) − sin
2
x
ifodaning qiymatini toping.
A) 0, 1
B) 0, 2
C) 0, 3
D)
2
√
10
13.2.2
Trigonometrik funksiyalarning xossalari
1.
y = sinx
va
y = cosx funksiyalarning eng
kichik musbat davri 2π ga teng.
2.
y = tgx
va
y = ctgx funksiyalarning eng
kichik musbat davri π ga teng.
3.
Agar f (x) funksiyaning davri T bo’lsa, u
holda a f (x)+b funksiyaning davri T bo’ladi.
4.
Agar f (x) funksiyaning davri T bo’lsa, u
holda f (ax+b) funksiyaning davri T /a bo’ladi.
5.
Agar f (x) va g(x) funksiyalarning davrlari
mos ravishda T
1
va T
2
bo’lsa, u holda f (x)±
g(x) funksiyaning davri T = EKU K(T
1
; T
2
)
bo’ladi.
6.
Agar g(x) davriy funksiya bo’lsa, u holda
f (g(x)) funksiya ham davriy bo’ladi.
7.
y = cos x funksiya juft.
8.
y = sin x, y = tgx, y = ctgx funksiyalar toq.
1.
(03-1-17) y = 2 + 3 cos(8x − 7) funksiyaning eng
kichik musbat davrini toping.
A) 2π
B)
π
2
C)
π
3
D)
π
4
Yechish: 1 va 4-xossalarga ko’ra y = cos(8x − 7)
funksiyaning eng kichik musbat davri
T =
2π
8
=
π
4
ga teng. 3-xossaga ko’ra y = 2 + 3 cos(8x − 7)
funksiyaning eng kichik musbat davri ham
π
4
ga
teng bo’ladi. Javob:
π
4
(D).
2.
y = 3 + sin 2x funksiyaning davrini toping.
A)
2π
3
B) π
C)
π
3
D) 2π
3.
(98-10-102) y = sin(3x + 1) funksiyaning davrini
toping.
A)
2π
3
B) π
C)
π
3
D) 2π
4.
(98-12-56) y = cos(
5x
2
−
5
2
) funksiyaning
eng kichik musbat davrini aniqlang.
A)
4π
5
B) 2π
C) π
D)
2π
5
5.
(01-11-35) Funksiyaning davrini toping.
f (x) = 2
sin x
+ 3
tgx
A)
π
2
B) 2π
C) 3π
D) 4π
6.
(96-12-105) Funksiyaning eng kichik musbat dav-
rini toping.
y = tg
x
3
− 2 sin x + 3 cos 2x
A) 6π
B) 3π
C) 4π
D) 9π
Yechish: 4-xossaga ko’ra y = tg
x
3
funksiyaning
eng kichik musbat davri T
1
= π :
1
3
= 3π ga, y =
sin x funksiyaning davri T
2
= 2π ga, y = cos 2x
funksiyaning davri T
3
=
2π
2
= π ga teng. Ular-
ning eng kichik umumiy karralisi K(T
1
; T
2
; T
3
) =
6π bo’lganligi uchun berilgan funksiyaning eng
kichik musbat davri 6π ga teng. Javob: 6π (A).
7.
(96-9-48) Funksiyaning eng kichik davrini toping.
y = tg
x
3
− 2 sin
x
2
+ 3 cos
2
3
x
A) 4π
B) 6π
C) 3π
D) 12π
8.
(96-13-14) Funksiyaning eng kichik davrini to-
ping.
y = ctg
x
3
+ tg
x
2
A) 6π
B) 2π
C) 3π
D) 12π

142
9.
Qaysi funksiyaning davri eng kichik va u nechaga
teng. y
1
= tg3x,
y
2
= ctg6x,
y
3
= cos(3x + 1),
y
4
= sin(6x + 4)
A) y
1
;
2π
3
B) y
2
;
π
6
C) y
3
;
2π
3
D) y
4
;
π
3
10.
(02-3-41) Quyidagi funksiyalardan qaysi biri davriy
emas?
A) y = sin
√
x
B) y =
√
sin x
C) y = | sin |x||
D) y = sin
2
x
11.
(02-3-45) Quyidagi funksiyalardan qaysi birlari
davriy emas?
1) y = sin
√
x;
2) y = lg | cos x|
3) y = x cos x;
4) y = sin
2
x + 1
A) 1;3
B) 1;2
C) 2;3
D) 1;4
12.
(03-4-38) Eng kichik musbat davrga ega bo’lgan
funksiyani ko’rsating.
A) y = sin
4
3
x
B) y = cos
5
3
x
C) y = ctg
3
2
x
D) y = sin x cos x
13.
(97-2-41) Quyidagi funksiyalardan qaysi biri juft?
A) f (x) = sin x + x
3
B) f (x) = cos xtgx
C) f (x) = x
2
· ctgx
D) f (x) =
x
4
+ x
2
cos x
Yechish: f (x) = sin x+x
3
funksiya toq funksiya-
lar yig’indisi sifatida toq (10-bob, 7-xossa), f (x) =
cos xtgx va f (x) = x
2
·ctgx funksiyalar juft va toq
funksiyalar ko’paytmasi sifatida toq (10-bob, 4-
xossa) funksiya bo’ladi. D javobdagi f funksiya
juft funksiyalar nisbati sifatida juft (10-bob, 3-
xossa) funksiya bo’lagi. Javob: (D).
14.
(97-4-17) k ning qanday natural qiymatlarida y =
(sin x)
5k+4
juft funksiya bo’ladi?
A) toq qiymatlarida
B) juft qiymatlarida
C) 5 ga karrali qiymatlarida
D) barcha qiymatlarida
15.
(00-10-72) Quyidagilardan qaysi biri toq funksiya?
A) y = lg
1 + x
1 − x
B) y = lg x
3
C) y = cos(x − a)
D) y =
a
x
+ a
−x
2
16.
(97-12-40) Quyidagi funksiyalardan qaysi biri toq?
A) f (x) =
cos 5x + 1
|x|
B) f (x) =
sin
2
x
x
2
− 1
C) f (x) =
cos
2
x
x(x
2
− 1)
D) f (x) =
sin
x
2
x
3
17.
(99-2-38) Quyidagi funksiyalardan qaysi biri
toq funksiya?
A) f (x) = sin x · tgx
B) f (x) = cos x · ctgx
C) f (x) = sin |x|
D) f (x) = e
|x|
18.
(99-7-17) Funksiyalardan qaysi birlari juft ham,
toq ham bo’lmagan funksiyalardir?
y
1
= 2
x
+ 2
−x
;
y
2
= 5
x
− 5
−x
;
y
3
=
√
sin x +
√
cos x;
y
4
= cos x + x
3
.
A) y
1
; y
2
B) y
1
; y
3
C) y
3
; y
4
D) y
3
Yechish: Ta’rif yordamida ko’rsatish mumkinki
y
1
juft, y
2
toq funksiyadir. y
4
funksiya juft va
toq funksiyalar yig’indisi sifatida juft ham, toq
ham bo’lmagan funksiyadir (10-bob, 11-xossa).
y
3
funksiyaning juft yoki toqligini aniqlamasdan
ham testning to’g’ri javobini topishimiz mumkin.
Buning uchun quyidagicha yo’l tutamiz. Qaysi
javoblarda y
1
yoki y
2
funksiyalar qatnashgan bo’l-
sa, ular to’g’ri javob bo’la olmaydi. Chunki y
1
va
y
2
funksiyalar juft yoki toqlik xossasini namayon
qiladi.
To’g’ri javobda y
4
albatta qatnashishi
kerak. Demak, to’g’ri javob C ekan. Javob:
y
3
; y
4
(C).
19.
Funksiyalardan qaysi birlari juft ham, toq ham
bo’lmagan funksiyalardir?
y
1
= sin x + cos(−x);
y
2
= tgx − ctg
2
x;
y
3
= sin
2
x + cos
2
x;
y
4
= cos
5
x + sin
3
x.
A) y
1
; y
2
; y
4
B) y
1
; y
3
C) y
3
; y
4
D) y
2
; y
3
20.
Funksiyalardan qaysi birlari juft ham, toq ham
bo’lmagan funksiyalardir?
y
1
= sin
3
x : cos x;
y
2
= cos(x − 2);
y
3
= sin
7
x + 7;
y
4
= cos
5
x · sin
3
x.
A) y
1
; y
2
; y
4
B) y
1
; y
3
C) y
3
; y
4
D) y
2
; y
3
21.
Juft ham, toq ham bo’lmagan funksiyani toping.
A) 1 + sin x
B) 1 − cos
5
3x
C) 1 + tg
2
x
D) 1 − ctg
2
x
22.
(01-2-16) Quyidagi funksiyalardan qaysi biri toq
funksiya?
A) x
3
+ x + 4
B) cos x + tgx
C) sin x + tgx − 1
D) sin 2x · cos x/tg
2
x
23.
(01-11-34) y
1
= sin(
π
2
− x); y
2
= ctg
2
x sin
2
x
va y
3
= lg(|x| + 1) funksiyalardan qaysi biri toq?
A) y
1
B) y
2
C) y
3
D) Berilgan funksiyalar ichida toq funksiya yo’q.
13.2.3
Qo’shish va keltirish formulalari
Ikki burchak yig’indisi va ayirmasining trigonometrik
funksiyalari uchun formulalar keltiramiz. Quyida keltir-
ilgan formulalar ”qo’shish teoremalari” deb ham yuri-
tiladi.
1.
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y.
2.
sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y.
3.
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y.
4.
cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y.
5.
tg(x + y) =
tgx + tgy
1 − tgxtgy
.
6.
tg(x − y) =
tgx − tgy
1 + tgxtgy
.
Argumentlari
nπ
2
± α, n ∈ Z ko’rinishidagi trigo-
nometrik funksiyalarni α burchakning trigonometrik

143
funksiyalariga keltiruvchi formulalar keltirish formu-
lalari deyiladi. Qo’shish teoremalaridan bevosita ke-
lib chiqadigan va ”keltirish formulalari” teb ataluvchi
13.4-jadvalni keltiramiz.
x
sin x
cos x
tgx
ctgx
π
2
− α
cos α
sin α
ctgα
tgα
π
2
+ α
cos α
− sin α
−ctgα
−tgα
π − α
sin α
− cos α
−tgα
−ctgα
π + α
− sin α
− cos α
tgα
ctgα
3π
2
− α
− cos α
− sin α
ctgα
tgα
3π
2
+ α
− cos α
sin α
−ctgα
−tgα
2π − α
− sin α
cos α
−tgα
−ctgα
13.5-jadval.
Keltirish formulalaridan foydalanib, trigonometrik
funksiyalarning ixtoyoriy burchakdagi qiymatini o’tkir
burchakning trigonometrik funksiyalari orqali ifodalash
mumkin. Bu yerdan kelib chiqadiki, trigonometrik funk-
siyalarning qiymatlarini hisoblash uchun, ularning faqat
o’tkir burchakdagi qiymatlarini bilish kifoya ekan.
Quyidagi qoidalar yodda saqlansa, keltirish formu-
lalarini eslab qolish oson bo’ladi.
1) π ± α, 2π ± α (butun π lar) burchak funksiyalar-
idan α burchak funksiyalariga o’tilayotganda funksiya-
ning nomi o’zgarmaydi.
2)
π
2
±α,
3π
2
±α (yarimtalik π lar) burchak funksiya-
laridan α burchak funksiyalariga o’tilayotganda funksi-
yaning nomi o’zgaradi.
3) α ni o’tkir burchak deb hisoblab α burchak funk-
siyasi oldiga, keltirilayotgan funksiyaning β =
π
2
± α
(π ± α,
3π
2
± α 2π ± α) burchak yotgan chorakdagi
ishorasi qo’yiladi.
Buni quyidagi misolda ko’rib chiqamiz.
1-misol. sin 300
0
ni o’tkir burchakning trigonometrik
funksiyasi orqali ifodalang.
Yechish: 1-usul. sin 300
0
ni sin(360
0
−60
0
) shaklda
yozib olamiz. 360
0
− bu 2π radianga mos burchak,
shuning uchun 60
0
o’tsak, sinus funksiyaning ismi o’zgar-
maydi. Endi oldiga qo’yiladigan ishorani aniqlaymiz.
360
0
− 60
0
= 300
0
li burchak, IV chorakka tegishli,
IV chorakda sinus funksiya manfiy qiymatlar qabul qi-
ladi, demak ” − ” ishorasi qo’yiladi. Shunday qilib,
sin(360
0
− 60
0
) = − sin 60
0
.
2-usul. sin 300
0
= sin
10π
6
ni sin(
3π
2
+
π
6
) shaklda
yozib olamiz.
3π
2
(bir yarim π) bo’lganligi uchun
3π
2
tashlanganda sinus funksiyaning ismi o’zgarib kosinusga
almashadi. Endi oldiga qo’yiladigan ishorani aniqlaymiz.
3π
2
<
3π
2
+
π
6
< 2π burchak IV chorakka tegishli,
IV chorakda sinus funksiyaning qiymati manfiy, demak
” − ” ishorasi qo’yiladi. Shunday qilib, sin(
3π
2
+
π
6
) =
− cos
π
6
. Javob: sin 300
0
= − sin 60
0
= − cos
π
6
.
1.
sin 15
0
ni hisoblang.
A)
√
2
4
(
√
3 − 1)
B)
1
4
(
√
6 +
√
2)
C)
√
2
2
(
√
3 − 1)
D)
√
2
4
(
√
6 −
√
2)
Yechish: sin 15
0
ni sin(45
0
− 30
0
) shaklda yozib,
unga 2-formulani qo’llasak
sin(45
0
− 30
0
) = sin 45
0
cos 30
0
− cos 45
0
sin 30
0
ni olamiz. 13.1-jadvaldan sinus va kosinuslar-
ning 30
0
va 45
0
dagi qiymatlarini topib, ayirmani
hisoblaymiz:
sin 15
0
=
√
2
2
·
√
3
2
−
√
2
2
·
1
2
=
√
2
4
(
√
3 − 1).
Javob:
√
2
4
(
√
3 − 1) (A).
2.
cos 15
0
ni hisoblang.
A)
√
2
4
(
√
3 + 1)
B)
1
4
(
√
6 −
√
2)
C)
√
2
2
(
√
3 + 1)
D)
√
2
4
(
√
3 +
√
2)
3.
sin 75
0
ni hisoblang.
A)
√
2
4
(
√
3 + 1)
B)
1
4
(
√
6 −
√
2)
C)
√
2
2
(
√
3 + 1)
D)
√
2
4
(
√
3 +
√
2)
4.
cos 75
0
ni hisoblang.
A)
√
2
4
(
√
3 − 1)
B)
1
4
(
√
6 +
√
2)
C)
√
2
2
(
√
3 − 1)
D)
√
2
4
(
√
6 −
√
2)
5.
cos 75
0
+ cos 105
0
ni hisoblang.
A) 0
B)
√
3
C) 1
D)
√
2
6.
(98-6-54) Hisoblang.
cos 45
0
· cos 15
0
+ sin 45
0
· sin 15
0
A)
1
2
B)
√
2
2
C)
√
3
2
D) 0
7.
(01-6-27) Hisoblang.
cos 15
0
+
√
3 sin 15
0
A)
√
3
B)
√
2
C)
√
2
2
D)
√
3
2
8.
(00-5-31) sin 2010
0
ni hisoblang.
A) −
1
2
B) −
√
3
2
C)
√
3
2
D) 1
Yechish: sin 2010
0
= sin(6·360
0
−150
0
) tenglik-
dan hamda sinusning 2π davriy va toq funksiya
ekanligidan foydalansak
sin 2010
0
= − sin 150
0
= − sin(180
0
− 30
0
)
ni olamiz. Bunga keltirish formulasini qo’llab,
sin 30
0
= 0, 5 ekanligini hisobga olsak, sin 2010
0
=
−0, 5 ni olamiz. Javob: −
1
2
(A).

144
9.
(01-2-17) cos 870
0
ni hisoblang.
A)
√
3
2
B) −
1
2
C) −
√
3
2
D)
1
2
10.
(02-4-29) sin
2
(3570
0
) ni hisoblang.
A) 0, 2
B) 0, 3
C) 0, 25
D) 0,35
11.
(03-2-41) tg1395
0
ni hisoblang.
A)
√
3
B) −
1
√
3
C) −1
D) 1
12.