M u n d a r I j a

tg105
0
ni hisoblang.
A) −2 −
√
3
B) 2 −
√
3
C) −2 +
√
3
D) 2 +
√
3
Yechish: tg105
0
ni tg(45
0
+ 60
0
) shaklda yozib,
unga 5-formulani qo’llasak
tg105
0
=
tg45
0
+ tg60
0
1 − tg45
0
tg60
0
ni olamiz. 13.1-jadvaldan tangensning 45
0
va 60
0
dagi qiymatlarini topib, nisbatni hisoblaymiz:
tg105
0
=
1 +
√
3
1 −
√
3
= −2 −
√
3.
Javob: −2 −
√
3 (A).
13.
ctg105
0
ni hisoblang.
A)
−1
2 +
√
3
B)
1
2 −
√
3
C)
1
√
3 − 2
D)
1
2 +
√
3
14.
ctg15
0
ni hisoblang.
A) −2 −
√
3
B) 2 −
√
3
C) −2 +
√
3
D) 2 +
√
3
15.
tg75
0
ni hisoblang.
A) −2 −
√
3
B) 2 −
√
3
C) −2 +
√
3
D) 2 +
√
3
16.
ctg75
0
+ tg15
0
ni hisoblang.
A) −4 − 2
√
3
B) 4 − 2
√
3
C) −4 + 2
√
3
D) 4 + 2
√
3
17.
(03-4-23) Hisoblang.
(tg60
0
cos 15
0
− sin 15
0
) · 7
√
2
A) 16
B) 12
C) 18
D) 14
18.
(96-1-54) 2tg(−765
0
) ning qiymatini toping.
A) −
√
2
B)
2
√
3
C) −2
D) 4
Yechish: 765
0
= 2 · 360
0
+ 45
0
tenglikni va tan-
gensning toq funksiya hamda π davriy ekanligini
hisobga olsak
2tg(−765
0
) = −2tg(2 · 360
0
+ 45
0
) = −2tg45
0
ni olamiz. tg45
0
= 1 dan 2tg(−765
0
) = −2 kelib
chiqadi. Javob: −2 (C).
19.
(97-11-43) Hisoblang.
cos(−45
0
) + sin(315
0
) + tg(−855
0
)
A) 0
B)
√
2 − 1
C) 1 +
√
3
D) 1
20.
(98-5-49) tg1
0
· tg2
0
· · · tg88
0
· tg89
0
ni hisoblang.
A) 0
B)
1
2
C) 1
D)
√
3
21.
(98-10-36) Hisoblang.
tg
π
6
· sin
π
3
· ctg
5π
4
A) 1, 5
B) 0, 5
C) −
1
2
D)
√
3
4
22.
(02-3-76) Hisoblang.
sin
π
9
− cos
7π
18
A) 0
B)
1
2
C)
√
2
2
D)
√
3
2
23.
(03-12-77) Hisoblang.
³³
tg
2
7π
24
− tg
2
π
24
´
:
³
1 − tg
2
7π
24
· tg
2
π
24
´´
2
A)
1
9
B) 9
C)
1
3
D) 3
24.
(96-3-111) Agar tg(
π
4
− α) = 2 bo’lsa, tgα ni to-
ping.
A) 3
B) −3
C)
1
3
D) −
1
3
Yechish: tgα = tg
¡ π
4
− (
π
4
− α)
¢
tenglikning
o’ng tomoniga 6-formulani qo’llasak
tgα =
tg
π
4
− tg
¡ π
4
− α
¢
1 + tg
π
4
tg
¡ π
4
− α
¢ =
1 − 2
1 + 2
= −
1
3
.
Javob: −
1
3
(D).
25.
(96-9-46) Agar tg(
π
4
− α) = 2 bo’lsa, ctgα ni to-
ping.
A) 3
B)
1
3
C) −
1
3
D) −3
26.
(01-1-42) Agar
tgα =
1
2
,
tgβ =
1
3
,
π < α + β < 2π
bo’lsa, α + β ning qiymatini toping.
A)
7π
3
B)
5π
3
C)
5π
4
D)
7π
4
27.
(97-1-60) Agar
½
tg(x + y) = 3
tg(x − y) = 2

145
bo’lsa, tg2x ni hisoblang.
A) 5
B) 2,5
C) 1
D) −1
Yechish: Agar tg2x = tg
¡
(x + y) + (x − y)
¢
tenglikning o’ng tomoniga 5-formulani qo’llasak
tg2x =
tg(x + y) + tg(x − y)
1 − tg(x + y) · tg(x − y)
=
3 + 2
1 − 3 · 2
= −1.
Javob: −1 (D).
28.
(97-6-60) Agar
½
tg(α + β) = 5
tg(α − β) = 3
bo’lsa, tg2β ni hisoblang.
A) 15
B) 8
C)
1
8
D) 1
29.
(97-6-68) Agar



2tgα = 3 +
√
x,
2tgβ = 3 −
√
x
4(α + β) = π
bo’lsa, x ni toping.
A)
π
3
B) −17
C) −
π
6
+ πk
D) 17
30.
(98-6-48) Agar tg(x + y) = 5 va tgx = 3 bo’lsa,
tgy ni toping.
A) 2
B)
1
8
C) 8
D)
1
2
Yechish: Agar tgy = tg
¡
(x + y) − x
¢
tenglikning
o’ng tomoniga 6-formulani qo’llasak
tgy =
tg(x + y) − tgx
1 + tg(x + y) · tgx
=
5 − 3
1 + 5 · 3
=
1
8
.
Javob:
1
8
(B).
31.
(00-1-29) Agar α = −45
0
va β = 15
0
bo’lsa,
cos(α + β) + 2 sin α · sin β ning qiymatini toping.
A) −
1
2
B)
√
3
2
C) −
√
3
2
D)
1
2
32.
(02-6-46) Agar
(
cos x · cos y =
1
6
tgx · tgy = 2
bo’lsa, cos(x + y) ni toping.
A)
1
2
B)
1
3
C) −
1
2
D) −
1
6
33.
(01-1-49) Agar sin α = −
1
3
va cos β = −
1
2
bo’lsa,
sin(α + β) · sin(α − β) ning qiymatini toping.
A) −
23
36
B)
23
36
C)
3
4
D) −
3
4
34.
(03-1-25) Agar
½
3 sin x · cos y = −1
3 cos x · sin y = 2
bo’lsa, ctg(x − y) ni hisoblang.
A) 0
B) 1
C) −
1
2
D)
1
2
35.
(00-1-26) Soddalashtiring.
sin(
π
2
− α) · cos(π + α)
ctg(π + α) · tg(
3π
2
− α)
A) − sin
2
α
B) − sin
2
α · tg
2
α
C) − cos
2
α
D) cos
2
α · ctg
2
α
Yechish: Berilgan kasr suratiga keltirish formu-
lasini qo’llab cos α(− cos α) = − cos
2
α ni olamiz.
Kasr maxrajiga ham keltirish formulasini qo’llab
ctgα · ctgα = ctg
2
α ni olamiz. U holda berilgan
kasr
− cos
2
α · tg
2
α = − cos
2
α ·
sin
2
α
cos
2
α
= − sin
2
α
ga teng bo’ladi.
Javob: − sin
2
α (A).
36.
(96-1-57) Soddalashtiring.
cos(α + β) + 2 sin α · sin β
sin(α + β) − 2 cos β · sin α
A) ctg(β − α)
B) tg(α − β)
C) 2tg(α + β)
D) 2ctg(α − β)
37.
(01-11-24) Soddalashtiring.
sin α + cos α
√
2 cos(
π
4
− α)
A) 1,6
B) ctg(
π
4
+ α)
C) 1,5
D) 1
38.
(99-1-41) Soddalashtiring.
tgα · ctg(π + α) + ctg
2
α
A)
1
sin
2
α
B)
1
cos
2
α
C) tgα
D) tg
2
α
39.
(00-8-60) Soddalashtiring.
tg(π − α)
cos(π + α)
·
sin(
3π
2
+ α)
tg(
3π
2
+ α)
A) tg
2
α
B) ctg
2
α
C) −tg
2
α
D)
1
tgα
13.2.4
Ikkilangan va yarim burchak formulalari
Qo’shish teoremalaridan ikkilangan burchakning trigo-
nometrik funksiyalari uchun quyidagilar kelib chiqadi.
1.
sin 2x = 2 sin x cos x.
2.
cos 2x = cos
2
x − sin
2
x = 2 cos
2
x − 1 =
= 1 − 2 sin
2
x.
3.
sin 2x =
2tgx
1 + tg
2
x
.
4.
cos 2x =
1 − tg
2
x
1 + tg
2
x
.

146
5.
tg2x =
2tgx
1 − tg
2
x
.
Ikkilangan burchak formulalaridan yarim burchak
uchun formulalar kelib chiqadi.
6.
sin
2
x
2
=
1 − cos x
2
,
sin
x
2
= ±
r
1 − cos x
2
.
7.
cos
2
x
2
=
1 + cos x
2
,
cos
x
2
= ±
r
1 + cos x
2
.
8.
tg
x
2
=
sin x
1 + cos x
=
1 − cos x
sin x
.
9.
ctg
x
2
=
sin x
1 − cos x
=
1 + cos x
sin x
.
10.
tg
2
α
2
=
1 − cos α
1 + cos α
,
ctg
2
α
2
=
1 + cos α
1 − cos α
.
1.
(97-6-51) Hisoblang.
sin
π
8
· cos
3
π
8
− sin
3
π
8
· cos
π
8
A) 0
B) 1
C) 2
D)
1
4
Yechish: 1 va 2-dan, ya’ni sin α · cos α =
1
2
sin 2α
va cos
2
α − sin
2
α = cos 2α ekanligidan
sin
π
8
· cos
3
π
8
− sin
3
π
8
· cos
π
8
= sin
π
8
· cos
π
8
³
cos
2
π
8
− sin
2
π
8
´
=
1
2
sin
π
4
cos
2π
8
=
=
1
2
sin
π
4
· cos
π
4
=
1
4
sin
π
2
=
1
4
ni hosil qilamiz. Javob:
1
4
(D).
2.
(97-1-52) Hisoblang.
sin
π
16
· cos
3
π
16
− sin
3
π
16
· cos
π
16
A)
√
2
2
B)
√
2
3
C)
√
2
4
D)
√
2
8
3.
(99-6-53) Hisoblang.
cos
π
7
· cos
4π
7
· cos
5π
7
A) −
1
8
B)
1
4
C)
1
2
D)
1
8
Yechish: Keltirish formulasi cos α = − cos(π −
α) dan foydalanib berilgan ifodada quyidagicha
shakl almashtirish qilamiz:
A = cos
π
7
· cos
4π
7
· cos
5π
7
= − cos
π
7
·
· cos
4π
7
· cos(π −
5π
7
) = − cos
π
7
· cos
2π
7
cos
4π
7
.
Tenglikni 8 sin
π
7
ga ko’paytirib va 1-formulani
bir necha marta qo’llab
8A sin
π
7
= −8 cos
4π
7
cos
2π
7
cos
π
7
sin
π
7
=
= −4 cos
4π
7
·cos
2π
7
·sin
2π
7
= −2 cos
4π
7
sin
4π
7
=
= − sin
8π
7
ni hosil qilamiz. Demak,
A = −
sin
8π
7
8 sin
π
7
= −
sin(π +
π
7
)
8 sin
π
7
=
1
8
.
Javob:
1
8
(D).
4.
(98-1-54) Agar tgα = −
1
4
bo’lsa,
2 cos
2
α − sin 2α
2 sin
2
α − sin 2α
ni hisoblang.
A) −4
B) 4
C)
1
4
D) −
1
2
5.
(98-10-101) Agar tgα =
1
2
bo’lsa, tg2α ni toping.
A)
5
3
B)
4
3
C)
3
4
D)
3
5
6.
(98-8-54) Agar ctgα =
1
8
bo’lsa,
sin 2α + 2 sin
2
α
sin 2α + 2cos
2
α
ni hisoblang.
A)
1
8
B) 8
C)
1
4
D) 4
7.
(96-10-35) Agar cos α =
1
5
bo’lsa,
2 sin α + sin 2α
2 sin α − sin 2α
ni hisoblang.
A) 0,5
B) 1,5
C) 3
D)
2
3
8.
(98-11-17) tg22, 5
0
+ tg
−1
22, 5
0
ni hisoblang.
A)
√
2
B)
√
2
−1
C) 4
√
2
D) 2
√
2
Yechish: 8-formuladan foydalansak
tg22, 5
0
+ tg
−1
22, 5
0
=
1 − cos 45
0
sin 45
0
+
sin 45
0
1 − cos 45
0
.
ni olamiz. Endi cos 45
0
= sin 45
0
=
√
2
2
ni yuqori-
dagi ifodaga qo’yib, uni soddalashtirsak 2
√
2 ni
olamiz. Javob: 2
√
2 (D).
9.
(98-10-32) tg15
0
− ctg15
0
ni hisoblang:
A) 2
√
3
B) −2
√
3
C) −
2
√
3
3
D)
2
√
3
3
10.
(98-4-29) Hisoblang:
cos92
0
· cos2
0
+ 0, 5 · sin4
0
+ 1
A)
1
2
B) 1
C) 0
D) 2

147
11.
(99-6-12) Hisoblang:
2tg(240
0
)
1 − tg
2
(240
0
)
A) −
√
3
B)
√
3
C)
√
3
3
D)
2
√
3
12.
(00-10-13) Hisoblang.
cos
π
5
· cos
2π
5
A)
1
2
B)
1
8
C)
1
4
D)
1
12
13.
(96-9-47) Soddalashtiring.
1 + sin 2α
sin α + cos α
− sin α
A) cos α
B) sin α
C) − cos α
D) −2 sin α
Yechish: Asosiy trigonometrik ayniyat va 1-for-
muladan foydalanib berilgan kasr suratini quyida-
gicha yozib olamiz:
1 + sin 2α = 1 + 2 sin α cos α = (sin α + cos α)
2
.
Endi soddalashtiramiz
(sin α + cos α)
2
sin α + cos α
− sin α = sin α + cos α − sin α.
O’xshash hadlarni ixchamlab cos α ga ega bo’lamiz.
Javob: cos α (A).
14.
(97-7-56) Soddalashtiring:
sin(π − 2α)
1 − sin(
π
2
− 2α)
A) −tgα
B) 2 sin α
C) ctgα
D) tgα
15.
(96-3-112) Soddalashtiring.
sin 3α
sin α
−
cos 3α
cos α
A) 2 cos α
B) 2
C) 2 sin α
D) 1
16.
(96-12-85) Soddalashtiring.
2
tgα + ctgα
A) cos 2α
B)
1
cos 2α
C)
1
sin 2α
D) sin 2α
17.
(96-13-38) Soddalashtiring.
2
ctgα − tgα
A) ctg2α
B) sin 2α
C) tg2α
D) cos 2α
18.
(00-1-27) Soddalashtiring.
1 − cos 2α
1 + cos 2α
+ 1
A) cos
−2
α
B) sin
−2
α
C) sin
2
α
D) cos
2
α
19.
(00-2-48) Soddalashtiring.
(cos 3x + cos x)
2
+ (sin 3x + sin x)
2
A) 4 cos
2
x
B) 2 cos
2
x
C) 3sin
2
x
D) 4 sin
2
x
20.
(96-7-56) Soddalashtiring.
sin 2α + cos(π − α) · sin α
sin(
π
2
− α)
A) cos α
B) sin α
C) −2 sin α
D) − cos α
21.
(97-3-56) Soddalashtiring.
cos 2α + cos(
π
2
− α) · sin α
sin(
π
2
+ α)
A) cos α
B) 2 sin α
C) − cos α
D) tgα
22.
(97-10-56) Soddalashtiring.
sin(2α − π)
1 − sin(
3π
2
+ 2α)
A) tgα
B) −tgα
C) −2ctgα
D) sin α
23.
(99-6-23) Soddalashtiring.
1 +
tg
2
(−α) − 1
sin(0, 5π + 2α)
A) −tg
2
α
B) tg
2
α
C) ctg
2
α
D) −ctg
2
α
24.
(98-8-57) Hisoblang.
sin
4
³ 23π
12
´
− cos
4
³ 13π
12
´
A)
√
3
2
B)
1
2
C) −
√
3
2
D) −
√
2
2
Yechish: Argumentlarni
23π
12
= 2π −
π
12
va
13π
12
= π +
π
12
shaklda yozib, keyin keltirish for-
mulalarini qo’llab, berilgan ifodani
sin
4
³ π
12
´
−cos
4
³ π
12
´
=
³
sin
2
³ π
12
´´
2
−
³
cos
2
³ π
12
´´
2
shaklda yozib olamiz. Bu ifodaga ikki son kvadrat-
lari ayirmasi formulasini, keyin asosiy trigono-
metrik ayniyatni qo’llab
sin
2
π
12
−cos
2
π
12
= −(cos
2
π
12
−sin
2
π
12
) = − cos
2π
12
ni olamiz. cos
2π
12
= cos
π
6
ning qiymatini 13.1-
jadvaldan qarab, berilgan ifodaning qiymati −
√
3
2
ekanligini olamiz. Javob: −
√
3
2
(C).
25.
(98-12-90) Hisoblang.
√
3
sin 100
0
+
1
cos 260
0
A) 2
B) −4
C) −3
D) −1

148
26.
(01-11-18) Hisoblang.
1
sin 10
0
−
√
3
cos 10
0
A) 3,5
B) 2,5
C) 3
D) 4
27.
(02-7-11) Hisoblang.
sin
4
105
0
· cos
4
75
0
A)
1
256
B)
√
2
2
C)
1
128
D)
√
6
4
28.
(00-8-41) Hisoblang.
log
2
cos 20
0
+log
2
cos 40
0
+log
2
cos 60
0
+log
2
cos 80
0
A)