M ustaqil ishi

Buxoro davlat pedagogika instituti Matematika va informatika yo’nalishi
3MI-22IM guruh talabasi
Yuldashev Kuvandik Narbayevichning Algebra va sonlar nazariyasi fanidan “Normal qism gruppa, faktor gruppa” mavzusida tayyorlagan


M USTAQIL ISHI

BUXORO – 2023 YIL

Mavzu: Normal qism gruppa, faktor gruppa


Reja:

1. 
   Normal gruppa ta’rifi.
   
2. 
   Normal gruppa xossalari.
   
3. 
   Faktor gruppa.
   

Dastlab biz normal gruppa ta’rifi va uning xossalarini o’rganaylik.

2.4.1-Ta’rif. G gruppa bo’lib H uning qism gruppasi bo’lsin. Agar barcha
a ∈ G elementlar uchun aH = Ha tenglik bajarilsa, u holda H - G gruppanig
normal qism gruppasi deb ataladi.
Yuqoridagi ta’rifdan ko’rinib turibdiki G gruppa uchun G gruppaning o’ziva{e}uning normal qism gruppasi bo’ladi. H − G ning normal qism gruppasibo’lsin.
U holda barcha h ∈ H va a ∈ G lar uchun har doim ham ah = ha o’rinli emasligi quyidagi misoldan kelib chiqadi.

2.4.1-Misol. 2.3.1-misoldagi H ni qaraylik

Quyidagi teoremada bo’sh bo’lmagan qism gruppa normal qism gruppa bo’lishining zaruriy va yetarli sharti keltirilgan. a ∈ G va H ⊆ G uchun aHa−1 = {aha−1 | h ∈ H} bo’lsin.

2.4.1-Teorema. H−G gruppaning normal qism gruppasi bo’ishi uchun ixtiyoriy a ∈ G element uchun aHa−1 ⊆ H bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Faraz qilaylik H normal qism gruppa bo’lib a ∈ G bo’lsin. Unda h ∈ H element uchun aha−1 ∈ aHa−1 o’rinli bo’ladi. H normal qism gruppa bo’lganligi tufayli aH = Ha. Bundan tashqari ah ∈ aH hamda ah ∈ Ha bo’lganligidandan qandaydir h′ ∈ H element uchun ah = h′a bo’lishini hosil qilamiz.
Budan esa aha−1 = h′ ∈ H kelib chiqadi. Natijada aHa−1 ⊆ H bo’ladi.
Endi esa aksincha ixtiyoriy a ∈ G element uchun aHa−1 ⊆ H bo’lsin.
Unda h ∈ H element uchun aha−1 ∈ H bo’ladi. Demak ba’zi bir h′ ∈ H elementuchunaha−1 = h′ bo’ladi. Bundan esa ah = h′a ∈ Ha kelib chiqadi.

Shuning uchuna H ⊆ Ha bo’ladi. Huddi shu usulda Ha ⊆ aH ekanligini hosil qilishimiz mumkin.

Demak aH = Ha bo’ladi. Natijada H normal qism gruppa ekanligi kelib chiqadi.
Quyidagi teoremada normal qism gruppaning muhim xossalari keltirilgn.