“Normal qism gruppa, faktor gruppa” mavzusida tayyorlagan mustaqil ishi

---

 
Buxoro davlat pedagogika instituti 
Matematika va informatika yo’nalishi
3MI-22IM guruh talabasi
Yuldashev Kuvandik Narbayevichning 
Algebra va sonlar nazariyasi fanidan 
“Normal qism gruppa, faktor gruppa” 
mavzusida tayyorlagan
 
 
MUSTAQIL ISHI 
 
BUXORO – 2023 YIL 

---

 
Mavzu: Normal qism gruppa, faktor gruppa 
 
Reja: 
1. Normal gruppa ta’rifi. 
2. Normal gruppa xossalari. 
3. Faktor gruppa. 
Dastlab biz normal gruppa ta’rifi va uning xossalarini o’rganaylik. 
2.4.1-Ta’rif. G gruppa bo’lib H uning qism gruppasi bo’lsin. Agar barcha 
a 
∈ G elementlar uchun aH = Ha tenglik bajarilsa, u holda H - G gruppanig 
normal qism gruppasi deb ataladi. 
Yuqoridagi ta’rifdan ko’rinib turibdiki G gruppa uchun G gruppaning 
o’ziva{e}uning normal qism gruppasi bo’ladi. H − G ning normal qism 
gruppasibo’lsin. 
U holda barcha h 
∈ H va a ∈ G lar uchun har doim ham ah = ha o’rinli 
emasligi quyidagi misoldan kelib chiqadi. 
2.4.1-Misol. 2.3.1-misoldagi H ni qaraylik

---

Quyidagi teoremada bo’sh bo’lmagan qism gruppa normal qism 
gruppa bo’lishining zaruriy va yetarli sharti keltirilgan. a 
∈ G va H ⊆ G 
uchun aHa−1 = {aha−1 | h 
∈ H} bo’lsin. 
2.4.1-Teorema. H−G gruppaning normal qism gruppasi bo’ishi uchun 
ixtiyoriy a 
∈ G element uchun aHa−1 ⊆ H bo’lishi zarur va yetarli. 
Isbot. Faraz qilaylik H normal qism gruppa bo’lib a 
∈ G bo’lsin. Unda h ∈ 
H element uchun aha−1 
∈ aHa−1 o’rinli bo’ladi. H normal qism gruppa 
bo’lganligi tufayli aH = Ha. Bundan tashqari ah 
∈ aH hamda ah ∈ Ha 
bo’lganligidandan qandaydir h′ 
∈ H element uchun ah = h′a bo’lishini hosil 
qilamiz.
Budan esa aha−1 = h′ 
∈ H kelib chiqadi. Natijada aHa−1 ⊆ H 
bo’ladi. 
Endi esa aksincha ixtiyoriy a 
∈ G element uchun aHa−1 ⊆ H bo’lsin.
Unda h 
∈ H element uchun aha−1 ∈ H bo’ladi. Demak ba’zi bir h′ ∈ 
H elementuchunaha−1 = h′ bo’ladi. Bundan esa ah = h′a 
∈ Ha kelib chiqadi.
Shuning uchuna H 
⊆ Ha bo’ladi. Huddi shu usulda Ha ⊆ aH 
ekanligini hosil qilishimiz mumkin. 
Demak aH = Ha bo’ladi. Natijada H normal qism gruppa ekanligi 
kelib chiqadi. 
Quyidagi teoremada normal qism gruppaning muhim xossalari 
keltirilgn. 
 2.4.2-Teorema. G gruppa bo’lib H va K uning qism gruppalari bo’lsin. 
Unda (1) H ∩ K normal qism gruppa bo’ladi; 

---

Isbot. 
(i) Qism gruppalar kesishmasi H ∩ K qism gruppani tashkil 
qiladi.g
∈Gvaa ∈ H ∩ K elementlar uchun gag−1 ∈ g(H ∩ K)g−1 ni 
qaraymiz.a
∈H∩Kbo’lganligi uchun a ∈ H va a ∈ K bo’ladi. H va K normal 
qism gruppalar bo’lganligi tufayli gag−1 
∈ H va gag−1 ∈ K ekanini hosil 
qilamiz. Bundan esa gag−1 
∈ H ∩ K bo’lishi kelib chiqadi. Demak g(H ∩ 
K)g−1 
∈ H ∩ K bo’ladi.