“Normal qism gruppa, faktor gruppa” mavzusida tayyorlagan mustaqil ishi

2.4.1-teoremaga asosan H ∩ K normal qism gruppani tashkil qiladi. 
(ii) HK = KH ekanligi H va K qism gruppalar normal bo’lganligi ta’rifidan 
kelib chiqai. Ya’ni h 
∈ H, k ∈ K elementlar uchun hk ∈ HK bo’lib, K normal 
qism gruppa bo’lganligi tufayli hK = Kh ekanligiga ega bo’lamiz. Bundan 
tashqari hk 
∈ hK = Kh bo’lib kH ⊆ KH ligidan hk ∈ KH bo’ladi. Shuning 
uchun HK 
⊆ KH bo’ladi. Huddi shunday KH ⊆ HK ekanligini hosil qil- 
ishimiz mumkin. Demak HK = KH bo’ladi. 2.1.6-teoremaga ko’ra HK qism 
gruppaligi kelib chiqadi. H va K qism gruppalar normal bo’lganligidan ixtiy- 
oriy a 
∈ G element uchun gHg−1 ⊆ H va gKg−1 ⊆ K bajariladi. Quyidagi 
ifodadan
 
HK 
normal 
qism-guppa 
bo’lishligi 
kelib 
chiqadi. 
(iii) 2.1.7-teoremaga ko’ra HK = 〈H 
∪ K〉 ekanligini hosil qilamiz.
G gruppaning H va K qism gruppalari uchun HK har doim ham bu gruppanig 
qism gruppasi bo’lavermaydi. Yuqoridagi teoremada esa G gruppaning H va K 
normal qism gruppalari uchun HK har doim normal qism gruppa bo’lishligi 

---

ko’rsatildi. 
Endi e’tiborimizni factor gruppa va uning xossalariga qaratamiz. 
2.4.3-Teorema. G gruppa bo’lib H uning normal qism gruppasi bo’lsin. Un- 
ing barcha chap qo’shni sinflar to’plamini G/H = {aH | a 
∈ G} orqali belgilab, 
aH, bH 
∈ G/H elementlar uchun ∗ - binar amalni quyidagicha aniqlaylik 
(aH) 
∗ (bH) = abH. 
U 
holda 
(G/H, 
∗) 
gruppa 
tashkil 
qiladi. 
Isbot. Dastlab (G/H, 
∗) algebraik struktura bo’lishini ko’rsataylik. 
aH, bH, a′H, b′H 
∈ G/H bo’lsin. Agar aH = a′H va bH = b′H bo’lsa, aH ∗ bH = 
a′H 
∗b′H ya’ni abH = a′b′H ekanligini ko’rsatishimiz kerak. aH = a′H va bH = b′H 
tengliklardan ba’zi bir h1, h2 
∈ H elementlar uchun a = a′h1 va b = b′h2 kelib 
chiqadi. Quyidagi tenglikdan