Maktab geometriyasida kesma deb, to’g’ri chiziqning berilgan ikkita

A nuqtadan ko’rsatilgan yo’nalishda vektor uzunligini o’lchab qo’yib
B nuqtani topamiz. _. Shunday qilib ni A nuqtadan qo’ydik, ya’ni ko’chirdik.
Ta’rif. Ikkita va vektorlarning yig’indisi deb, ixtiyoriy A nuqtadan vektorni qo’yib, uning oxiri B nuqtaga vektorni qo’yganda boshi vektorning boshi A nuqtada oxiri vektorning oxiri C nuqtada bo’lgan vektorga aytiladi.
va vektorlarning yig’indisi kabi belgilanadi. (4- chizma)
Vektorlarni qo’shish ta’rifidan istalgan A , B va C uchta nuqta uchun

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglikni vektorlarni qo’shishning uchburchak qoidasi deyiladi.
Ta’rif. va vektorlarning ayirmasi deb, shunday vektorga aytiladiki, ular uchun tenglik o’rinli bo’ladi. U holda .(5- chizma )
Ikkita vektorning ayirmasi hamma vaqt mavjud va bir qiymatli aniqlanishini isbotlash mumkin.
Ta’rif. vektorning songa ko’paytmasi deb quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi ga aytiladi va = ko’rinishda yoziladi.
1) ;
2) vektor ga kollinear.
3) Agar >0 bo’lsa va vektorlar bir xil yo’nalgan, agar <0 bo’lsa, va vektorlar qarama-qarshi yo’nalgan bo’ladi.
Vektorlarni qo’shish va songa ko’paytirish quyidagi xossalarga ega.
1°. uchun (qo’shishning assotsiativligi)
2°. uchun (qo’shishning kommutativligi)
3°. Ixtiyoriy vektor uchun shunday vektor mavjudki ular uchun: + = .
4°. Har bir vektor uchun shunday - vektor mavjudki ular uchun:
+ (- )= (bunda - ni ga qarama-qarshi vektor deyiladi).
_5°. Itiyoriy ikki haqiqiy son va ixtiyoriy vektor uchun:
_6°. Ixtiyoriy ikki haqiqiy son va ixtiyoriy vektor uchun:
7°.Ixtiyoriy haqiqiy son va ixtiyoriy , vektorlar uchun:
8⁰. Ixtiyoriy vektor uchun:

Vektor fazo va bazis.

Fazodagi barcha vektorlar to’plamini V bilan belgilaymiz, unda vektorni qo’shish va ayirish, vektorni songa ko’paytirish amallari aniqlangan.
V vektorlar to’plami yuqorida ko’rilgan sakkizta xossani qanoatlantirsa, u holda V vektorlar to’plamini vektor fazo yoki chiziqli fazo deyiladi.
Vektor fazoning bazisi.
Vektor fazoda ma’lum tartibda olingan chiziqli erkli vektorlar
(2.1.1)
berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Vektor fazoning har bir vektori (2.1.1) vektorlar sistemasi orqali chiziqli ifodalansa, (2.1.1) sistema vektor fazo bazisi deyiladi.
Ya’ni
Ta’rif. Agar bazis vektorlarning har bir vektori birlik vektor bo’lib, ularning har ikkitasi o’zaro perpendikulyar bo’lsa, bunday bazisni ortogonal bazis deyiladi.
Bazis vektorlar soni vektor fazoning o’lchovi deyiladi.
Vektorlarning berilgan bazisga nisbatan koordinatalari va ularning xossalari.
V₃ uch o’lchovli chiziqli fazo va uning bazis vektorlari berilgan bo’lsin, u holda ta’rifga ko’ra bu fazoning har bir vektorini
(2.2.2)
ko’rinishda yozish mumkin.
(2.2.2) ifodani vektorning bazis vektorlar bo’yicha yoyilmasi deyiladi.
Teorema. Vektor fazoning ixtiyoriy vektori tanlab olingan bazis vektorlarga nisbatan yagona yoyilmaga ega.
Isbot. Faraz qilaylik, vektor bazis vektorlar bo’yicha
(2.2.3)
yoyilmadan tashqari, ikkinchi bir
(2.2.4)

yoyilmaga ham ega bo’lsin. (2.2.3) tenglikdan (2.2.4) tenglikni hadlab ayirib quyidagiga ega bo’lamiz .

vektorlar chiziqli erkli bo’lgani uchun: , , . Bundan , , demak, yoyilma yagona.
₍2.2.3) yoyilmadagi x, y, z haqiqiy sonlar vektorning ( ) bazis vektorlarga nisbatan koordinatalari deyiladi va ko’rinishda yoziladi. Shunday qilib
Natija. Nol vektorning har qanday bazisga nisbatan koordinatalari nolga teng: (0, 0, 0).