[4] topologik fazo va har bir nuqta uchun topologik fazoning shu nuqtadagi bazasi berilgan bo‘lsin. Barcha oilaga

1.1.12. Ta’rif. [4] - topologik fazo va har bir nuqta uchun topologik fazoning shu nuqtadagi bazasi berilgan bo‘lsin. Barcha oilaga topologik fazoning atroflar oilasi deyiladi.
Barcha - atroflar oilasi quyidagi xossalarga ega bo‘lishini ko‘rsatamiz:
(BP1) Ixtiyoriy nuqta va shu nuqta bazasi berilgan bo‘lsin. U holda ixtiyoriy uchun o‘rinli.
(BP2) Agar bo‘lsa, u holda shunday element mavjudki, bo‘ladi.
(BP3) Ixtiyoriy uchun shunday topiladiki, o‘rinli bo‘ladi.
1.1.13.Taʼrif. [4] Aytaylik - topologik fazo boʻlsin. Agar biror toʻplamning toʻldirmasi - ochiq toʻplam boʻlsa, u holda bu toʻplamga fazoda yopiq toʻplam deyiladi.
Yuqorida aniqlangan barcha yopiq toʻplamlar oilasini bilan belgilaymiz. De Morgan qonuni va (O1) – (O3) xossalarni inobatga olsak barcha yopiq toʻplamlar oilasi uchun quyidagi xossalarga ega boʻlamiz:
(S1) va .
(S2) Agar va boʻlsa, u holda boʻladi.
(S3) Agar boʻlsa, u holda boʻladi.
Bu xossalarni quyidagicha ham ifoda qilish mumkin:
(S1) Butun fazo va boʻsh toʻplam yopiq toʻplamdir.
(S2) Ikkita yopiq toʻplamning birlashmasi yana yopiq toʻplam boʻladi.
(S3) Ixtiyoriy sondagi yopiq toʻplamlarning kesishmasi yana yopiq toʻplam boʻladi.
Isboti. (S1) ning isboti. (O1) shartga koʻra va edi. Quyidagini qaraymiz, va boʻlgani uchun va boʻladi.
(S2) xossani isbotlash uchun de Morgan formulasidan foydalanamiz. Aytaylik berilgan boʻlsin. Taʼrifga koʻra, har bir uchun shunday ochiq toʻplam topiladi. Bundan ni qaraymiz. Ikkita ochiq toʻplamning kesishmasi (O2) shartga koʻra - ochiq toʻplam ekanligidan yopiq toʻplam ekanligi kelib chiqadi.
(S3) ning isboti. Ixtiyoriy - yopiq toʻplamlar oilasi berilgan boʻlsin. 1.1.13 taʼrifga asosan ixtiyoriy uchun ochiq toʻplam boʻladi. De Morgan formulasidan foydalansak, u holda boʻladi. (O3) xossaga koʻra toʻplam ochiq boʻlganligi uchun - kesishmaning yopiq toʻplam ekanligi kelib chiqadi, yaʼni boʻladi.