[4] topologik fazo va har bir nuqta uchun topologik fazoning shu nuqtadagi bazasi berilgan bo‘lsin. Barcha oilaga

1.1.26. Tasdiq. - to‘plam topologik fazoning ixtiyoriy to‘plam ostisi bo‘lsin, u holda o‘rinli.
Isboti. a) - nuqta - to‘plamning ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin, ya’ni . Bu nuqtaning ixtiyoriy - atrofini qaraylik. U holda va shartlar bajariladi. dan ekanligi kelib chiqadi. Agar bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topilib, munosabat o‘rinli bo‘ladi. Bu esa nuqtaning to‘plamning chegarasiga tegishli ekanligiga zid. Demak, ekan.
b) Ixtiyoriy nuqtani olaylik, u holda va bo‘ladi. munosabatdan nuqtaning ixtiyoriy atrofi to‘plamda to‘liq yotmaydi. Bu esa ekanligini bildiradi. Demak, ekan.
1.1.13 ta’rif va 1.1.10 tasdiqdan quyidagi natijani olamiz.
1.1.27.Natija. Agar to‘plam topologik fazoning to‘plam ostisi bo‘lsa, u holda munosabat o‘rinli ekan.
1.1.28.Tasdiq. - nuqta to‘plamga tegishli bo‘lishi uchun nuqtaning ixtiyoriy - baza (ixtiyoriy baza) elementi uchun shartning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isboti. Zarurligi. - nuqta to‘plamga tegishli bo‘lsin va - oila nuqtaning bazasi bo‘lsin. Har qanday - to‘plam nuqtaning atrofi bo‘lganligidan, 1.1.13 ta’rifga ko‘ra va munosabatlar bajariladi. O‘z navbatida va o‘rinli bo‘ladi.
Yetarliligi. - oila - nuqtaning bazasi bo‘lsin va shartlar bajarilsin. Biz ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun shartning bajarilishi yetarli.
Buning uchun ekanligini ko‘rsatish kifoya. ning bo‘sh bo‘magan to‘plami va , keyin yoki da yotmasligi aniq. 1.1.12 tasdiq isbotlandi.
1.1.29.Teorema. [4] Chegaraviy operator quyidagi xossalarga ega:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ochiq to‘plam bo‘lishi uchun shartning bajarilishi zarur va yetarlidir;
10) yopiq to‘plam bo‘lishi uchun shartning bajarilishi zarur va yetarlidir;
11) ochiq-yopiq to‘plam bo‘lishi uchun shartning bajarilishi zarur va yetarlidir.