[4] topologik fazo va har bir nuqta uchun topologik fazoning shu nuqtadagi bazasi berilgan bo‘lsin. Barcha oilaga

1.1.14.Taʼrif. [4] Bir vaqtning oʻzida ham ochiq, ham yopiq boʻlgan toʻplamlar ochiq-yopiq toʻplamlar deyiladi.
1.1.15.Taʼrif. [4] Agar nuqtaning har bir atrofi toʻplamning kamida bitta nuqtasini oʻz ichiga olsa, yaʼni boʻlsa, nuqta toʻplamning urinish nuqtasi deyiladi. topologik fazodagi toʻplamning barcha urinish nuqtalari toʻplami orqali yoki kabi belgilanadi.
Taʼrifdan koʻrinadiki, toʻplamning har bir nuqtasi shu toʻplam uchun urinish nuqtasi boʻladi, yaʼni .
1.1.16.Tasdiq. toʻplamning yopiq boʻlishi uchun shartning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Zarurligi. Aytaylik, toʻplam topologik fazodagi biror yopiq toʻplam boʻlsin. U holda toʻplam topologik fazoda ochiq toʻplam boʻladi. Ixtiyoriy nuqta ichki nuqta ekanligidan bu nuqtaning shunday atrofi mavjudki, boʻladi. Bu esa ixtiyoriy nuqtaning toʻplam uchun urinish nuqtasi emasligini bildiradi. Demak, ekan.
Yetarliligi. Faraz qilaylik, - toʻplam oʻzining yopigʻi bilan ustma-ust tushsin, yaʼni boʻlsin. Bu toʻplamning yopiq ekanligini koʻrsatamiz. Buning uchun toʻldirma toʻplamdan ixtiyoriy - nuqtani olamiz. Bu - nuqta toʻplamning urinish nuqtasi emasligidan, shunday atrof mavjudki, boʻladi. nuqtaning ixtiyoriyligidan toʻplamning ochiq ekanligi kelib chiqadi. Demak, - yopiq toʻplam ekan. 1.1.3 tasdiq isbotlandi.
Aytaylik va toʻplamlar topologik fazoning qism toʻplamlari boʻlib shart bajarilsin. U holda munosabat oʻrinli boʻladi.
Haqiqatan ham, ekanligidan toʻplamning barcha urinish nuqtalari toʻplamning ham urinish nuqtalari boʻladi. Demak, munosabat oʻrinli ekan.
1.1.17.Tasdiq. Ixtiyoriy topologik fazo va ixtiyoriy toʻplam berilgan boʻlsin. U holda nuqta va toʻplam uchun quyidagi shartlar teng kuchli:
1) nuqta toʻplamga tegishli;
2) nuqtadagi ixtiyoriy baza va ixtiyoriy elementi uchun oʻrinli;
3) nuqtada shunday baza mavjudki, bu bazaning ixtiyoriy elementi uchun shart bajariladi.
Isboti. 1) 2). Teskarisidan faraz qilaylik, yaʼni nuqtadagi baza uchun shunday element topilib, boʻlsin. element nuqtaning ochiq atrofi boʻladi. Bu esa nuqta toʻplamning urinish nuqtasi emasligi kelib chiqadi. Demak, ekan. Bu esa 1) shartga zid. 2) 3) ning isboti oddiy. 3) 1) ning isboti urinish nuqta taʼrifidan bevosita kelib chiqadi. 1.1.4 tasdiq isbotlandi.