Mamirov Xusanning Kvaternionlar halqasi va uning tatbiqlari

2.HALQA HARAKTERISTIKASI

1-ta’rif. H halqa uchun biror M qism to’plam H da aniqlangan qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa bo’lsa, u holda M qism to’plam H halqaning qism halqasi deyiladi.
Masalan, juft sonlar to’plami butun sonlar halqasi uchun qism halqa bo’lib, butun sonlar to’plami esa ratsional sonlar halqasining qism halqasidir.
Quyidagi teorema H halqaning biror M qism to’plami halqa bo’lish- bo’lmasligini aniqlashda muhim ahamiyatga ega.
Teorema. H halqaning biror bo’sh bo’lmagan M qism to’plami qism halqa bo’lishi uchun M ga tegishli  va  elementlarning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasi yana qism to’plamga tegishli bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti:
1) Zaruriylik sharti. Faraz qilaylik, bo’lganda bo`lsin. ekanini ko`rsatamiz. Haqiqatan har qanday va uchun va bo`lganligi sababli ni dagi va elementlarni qo`shish va ko`paytirish amallari deb olishim mumkin.
Endi to`plamning halqa ekanligiga ishonch hosil qilish uchun unda halqaning barcha aksiomalari bajarilishini ko’rsatish kifoya.
M to’plam H ning qism to’plami bo’lganligidan unda halqa ta’rifining 1- guruh aksiomalaridagi c) qismidan boshqa barchasi o’rinli. Biz hozir c) aksiomaning ham o’rinliligini ko’rsatamiz.
Teorema shartiga asosan va ekanligidan , ikkinchidan  halqada yoki bo`ladi. Shunday qilib, c) aksioma ham o’rinli.
Demak, M to’plam H halqaning qism halqasi ekan.
Eslatma. bo’lgani uchun teoremadagi birinchi shartni,
ya’ni shartni olmasdan, qolgan ikkita shart bilan qanoatlansak ham bo’ladi.
2) Yetarlilik sharti.  qism halqa bo’lsin.U holda da teoremadagi uchta shartning bajarilishi halqa aksiomalariga asosan kelib chiqadi.
Birlik elementga ega bo’lgan  halqa berilgan bo’lsin. Biz o’z oldimizga birlik elementni o’z ichiga oluvchi va boshqa barcha qism halqalar uchun qism halqa bo’ladigan, ya’ni eng kichik qism halqani toppish vazifasini qo’yamiz. Bu qism halqada  birlik element bo’lsa, u holda element ham bo`ladi.U holda

va
ham bu qism halqaga tegishli bo’ladi.
va bo’lgani uchun  elementning karralilari to’plami yana halqa bo’ladi.
Agar biz bu qism halqani desak, u  dagi  ni o’z ichiga oluvchi eng kichik qism halqa bo’ladi. Bunda quyidagi ikki hol bo’lishi mumkin:
a) barcha natural  lar uchun 
b) birorta natural  uchun  .
Natural sonlarning istalgan to’plami doimo eng kichik elementga ega bo’lganligidan shartni qanoatlantiruvchi natural sonlar ichida eng
kichik natural  mavjud.