Mamirov Xusanning Kvaternionlar halqasi va uning tatbiqlari

Kurs ishining maqsadi: Halqa ta`rifi va uning sodda xossalari, halqa harakteristikasi, kvaternion son tushunchasi, uning ustidagi amallar va tadbiqlariga doir umumiy ma`lumotlarni berishdan iborat.
Kurs ishining ob’ekti: Oliy ta’limning bakalavriat bosqichida o’rganiladigan algebra va sonlar nazariyasi fani
Kurs ishining predmeti: Halqalar nazariyasi va sodda xossalari, kvaternion sonlar
Kurs ishining vazifalari:

• 
  Halqa va uning sodda xossalari haqida ma`lumotlarni o`rganish
  
• 
  Halqa harakteristikasi.
  
• 
  Kvaternion sonlar sodda xossalari haqida ma`lumot berish
  
• 
  Mavhum birliklarning ifodalanishi, Frobenius teoremasi, kvaternionlar sonlar halqasida algebraning asosiy teoramasi haqida ma`lumotlarni o`rganish
  
• 
  Kvaternion son haqida va ularga misollar keltirissh
  
• 
  Kurs ishini jihozlash, himoyaga tayyorlash.
  

1. HALQA TA`RIFI VA UNING SODDA XOSSALARI

Halqa tushunchasi ham algebraning muhim xususiy ko‘rinishlaridan biridir.
Ta’rif. Agar K to‘plamda + va  binar algebraik amallarni aniqlangan bo‘lib u quyidagi shartlarni (halqa aksiomalarini) qanoatlartirsa (K,+, 0) algebraik sistemani halqa deyiladi
1. Qo’shish qonunlari:
a ( qo`shishning assosativligi)
b (qo’shishning kommutativligi);
c)
2. Ko’paytirish qonunlari:
a ( ko`paytirisning assosativligi)
3. Taqsimot qonuni (distributivlik):


2-ta`rif. K to’plam hosil qilgan halqani H harfi orqali belgilaymiz. Agar H halqaning ixtiyoriy va elementlari uchun tenglik bajarilsa, u holda H halqani kommutativ halqa deyiladi.
Endi yuqoridagi aksiomalardan kelib chiqadigan ba’zi xulosalarni ko’rib o’tamiz:
Dastlabki uchta aksioma K halqaning qo’shish amaliga nisbatan abel gruppasi ekanligini bildiradi.
Demak, abel gruppasi uchun o’rinli bo’lgan hossalar halqada ham o’rinli bo’ladi, ya’ni halqada quyidagi xossalar o’rinli:
. H halqaning ixtiyoriy elementi uchun tenglikni qanoatlantiruvchi nol element mavjud va u yagonadir.
. H halqaning ixtiyoriy a elementi uchun shu halqada shunday element topiladiki bo’ladi.
Bunda elemexnt halqaning ga qarama-qarshi element deyiladi.
. H halqada tenglama yechimga ega va u yagonadir. Bu yechim bo’lib, biz uni orqali belgilaymiz.