Halqa tushunchasi ham algebraning muhim xususiy ko‘rinishlaridan

3.3. HALQA

Halqa tushunchasi ham algebraning muhim xususiy ko‘rinishlaridan biridir.
1-TA’RIF. Agar E to‘plamda + va  binar algebraik amallarni aniqlangan bo‘lib u quyidagi shartlarni (halqa aksiomalarini) qanoatlartirsa (E, +,,0) algebraik sistemani halqa deyiladi.
l.a,bE a + b=b + a; 2.a,b,cE a + (b + c);
3. 0E, aE a+0=a; 4.aE(-a)E a+(-a) = 0;
5.a,bcE a(bc)=(ab)c; 6.a,bcE a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca

Arap E halqada (7) a.bE ab=ba shart bajarilsa, bu holda E ni qommutativ halqa deyiladi. (E,+,0)-E halqaning additiv gruppasi deyiladi.

Agar halqada ko‘paytirish amaliga nisbatan neytral element mavjud bo‘lsa, ya’ni
7. 1E, 1 0, aE a1=1a=a bo‘lsa, bu holda E ni birlik elementga ega bo‘lgan halqa deyiladi.
Agar ikkita sonning ko‘paytmasi nolga teng bo‘lsa, u holda ko‘paytuvchilarning kamida bittasi nolga teng bo‘ladi. Bu xossani istalgan halqa uchun tarqatib bo‘lmaydi, ba’zi halqalardan noldan farqli elementlarning shunday juftini ko‘rsatish mumkinki, ularning ko‘paytmasi nolga teng bo‘ladi, ya’ni a0 va b=0 lekin
ab =0; bunday xossaga ega bo‘lgan elementlarni nolning bo‘luvchilari deyiladi.
Nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lgan halqalarga misollarini, tabiiy, sonlar halqalar ichidan topish mumkin emas.


2-TA’RIF. Birlik elementga ega bo‘lgan kommutativ halqa nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmasa uni butunlik sohasi deyiladi.
Misollar: 1. (Z; +; ; 0) algebraik sistemasi birlik elementiga ega bo‘lgan halqa bo‘ladi.
(Z, ;+;;0) algebraik sistemasi halqa bo‘ladi.
K={: a,b Q) to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish
,K lar uchun + =, -- ko‘rinishda aniqlangan bo‘lsa, (K,+, ) algebraik sistema <1,1> birlik elementga ega bo‘lgan kommutativ halqa bo‘ladi, bu halqa <1,0><0,1>=<0,0>, Bu erda <1,0><0,0> <0,1><0,0>. Bu halqada <0,0> va <0,b> lar ko‘rinshtsdagi elementlar nolning bo‘luvchilari bo‘ladi.
3-TA’RIF. E halqa F esa uni bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plami bo‘lsin, agar F to‘plam E da aniqlangan amallarga ko‘ra o‘zi halqa bo‘lsa, F halqa E halqaniig qism halqasi deyiladi.
Misol. 3. (Z; +; ; 0) butun sonlar halqasi (Z, ;+;;0) halqaning qism halqasi bo‘ladi.


MUSTAQIL ISH UCHUN SAVOLLAR

1. Sonlarni odatdagidek qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan quyidagi to‘plamlarning qaysi biri halqa tashkil etadi?

l) 2Z; 2) mZ; 3) Q; 4) Z ; 5) 2Z ; 6) Q ;

7) .

2. Matritsalarni odatdagidek qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan quyidagi to‘plamlarning qaysi biri halqa tashkil qiladi?

1) 2)

3) 4)
5) 6)
7) 8)

Bu halqalarning qaysi biri birlik elementga ega, biri ikkinchisiga qism halqa bo‘lgan ikkita halqani ko‘rsating.

3. Agar ZxZ to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish amallarini quyidagicha kiritilgan bo‘lsa, uni birlik elementga ega bo‘lgan kommutativ halqa ekanligini ko‘rsating.
(1b₁>,2,b₂>ZxZ), 1,b₁>=a₂,b₂>a₁=a₂b₁=b₂
1) 1,b₁>+2,b₂>=1+a₂; b₁+b₂>, 1,b₁>2,b₂>=1a₂; b₁b₂>;
2) (1,b₁>+2,b₂>=1+a₂; b₁+b₂>, 1,b₁>2,b₂>=
=1a₂+b₁b₂; a₁b₂+a₂b₁>;
3) (+ ₂,b₂>=₂; b,+b₂>, ₁ , b₁>₂,b₂>=
=₁ a₂+2b₁b₂; a₁ b₂+a₂b₁>;
4) (₁,b₁>+ ₂,b₂>=*₁+a₂; b₁+b₂>, ₁ ,b₁>-₂,b₂>=^:
=₁ a₂- 2b₁b₂; a₁b₂+a₂b₁>.
Bu halqalarning qaysi biri nolning bo‘luvchilariga ega bo‘ladi.
4. Aytaylik (E;+,0) - Abel’ gruppasi bo‘lsin. Agar E da ko‘paytirish amalini
" (a,b ÎE) ab=0 kabi aniqlasak, (E;+, , 0) ni halqa ekanligini isbotlang.
5. Agar (K; +, , 0) halqa bo‘lsa, " (a,b ÎK) lar uchun quyidagilarni to‘ђri ekanligini isbotlang.
1) a+b=a b=0; 2) a+b=0  b=-a;
3) -(-a)=a; 4) a0=0a=0;
5) a(-b)=(-a)b=-(ab); 6) (-a)(-b)=ab.
6. Agar (E;+,  ,0) halqaning " (a ÎE) elementi uchun a²=a bo‘lsa, bu halqani kommutativ ekanligini isbotlang.