Maqola tarixi

1. Furye qatori .
Faraz qilaylik, f (x) funksiya R = (—ю , + ») da berilgan bo'lsin. Ma’lumki, shunday T e R \ {0} son topilsaki, V x e R da f ( x + T ) = f ( x) tenglik bajarilsa, f (x) davriy funksiya,
T Ф 0 son esa uning davri deyiladi.
Agar T * 0 son f (x) funksiyaning davri bo'lsa, u holda kT (k = ±1,±2,...) sonlar ham shu funksiyaning davri bo'ladi. Agar f (x) va g (x) davriy funksiyalar bo‘lib, T Ф 0 ularning davri bo‘lsa, ^f ( ^x )± g ( ^x), ^f ( ^x )• g (^x), f7x7 ( g ( ^x )* ⁰ )
g (^x) funksiyalar ham davriy bo‘lib, ularning davri T ga teng bo‘ladi.
y = sin x, y = cos x funksiyalar T = 2л davrli funksiya bo‘lgan holda ushbu ^( x ) = a cosax + b sin ax (a, b ,a -
o‘zgarmas, a ^ 0)
funksiya ham davriy funksiya bo‘lib, uning
2л
davri T = — bo ladi. Haqiqatan ham, a
..( . 2л 1 ...
^1 x ч I = a cos
I a ) = a cos (ax + 2 л) + b sin (ax + 2л) = a cos ax + b sin ax = ^(x)
bo‘ladi.
Bu ^( x ) = a cosax + b sin ax sodda davriy funksiya bo‘lib, u garmonika deb ataladi.
Aytaylik, f (x) funksiya [-л, л] da uzluksiz bo‘lsin.
Unda f (x)cosnx, f (x)sinnx (n = 1,2,3,...)

759


lllllll I


mini

funksiyalar ham [-n ,n] da uzluksiz bo‘lib, ular [-n, n] da integrallanuvchi bo‘ladi. Bu integrallarni quyidagicha belgilaymiz:
1 ⁿ
a₀ = j f ( x ) dx,
n
-n
1 ⁿ
a_n = j f (x)cosnxdx, (n = 1,2,...) (1)
n
-n
1 ⁿ
b_n = j f (^x)sinnxdx. (n = 1,2,...)
n


1 n 1 / x 2
a₀ = - f e^axdx = — (e^xn - e~^an ) = — shan, n an^{v 7} an
-n


1 ⁿ
a_n = j e^aa cos nxdx = n


1 a cos nx + n sin nx


-n
Bu sonlardan foydalanib, ushbu
_a “
— + ^ (a cos nx + b sin nx)
2 ⁿ " '


(2)


qatorni ( uni trigonometrik qator deyiladi) hosil qilamiz.
(2) qator funksional qator bo’lib, uning har bir hadi garmonikadan iborat.
Ta’rif. (2) funksional qator f (x)


funksiyaning Furye qatori deyiladi. munosabatlar bilan aniqlangan ^a₀ , a1 , ^b1 , a2 , ^b₂ ’” a an ’ * * *
sonlar Furye koeffitsiyentlari deyiladi.


(1)


7.2. Funksiyalarni Furye qatoriga yoyish. Demak, berilgan f (x) funksiyaning Furye koeffitsiyentlari shu funksiyaga bog'liq bo'lib, (2) formulalar yordamida aniqlanadi, qator esa quyidagicha:
a ^да
f (x) ⁰ + ^ (a cos nx + b sin nx).
' ' 2 n=T n '
belgilanadi.
1-misol.Ushbu f (x) = e^aa (-„ <x < n ,a ^ 0) funksiyaning Furye qatori topilsin.
◄ (1) formulalardan foydalanib, berilgan
funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini hisoblaymiz:


e^ax


-n


-n
1 2a
* 2 2
n a + n


-;


1 1 r _ax . _ 1 a sin nx - n cos nx
b_n = — I e sin nxdx =
n n a + n
-n
= (-1)ⁿ¹ — • ²n s shan (n = 1,2,...).
n a n a ² + n
Demak,
f (x) = e^ax funksiyaning Furye qatori


f (x) = e^a


2 shan


e^ax


-n


a⁰ + ^(a_n cosnx + b„ sinnx) =


n=1
n


¹ +£_L1L
2a n=1 a + n


■y (a cos nx - n sin nx)


bo'ladi.k
Aytaylik, f (x) funksiya [-n, n] da berilgan juft funksiya bo'lsin: f (- x) = f (x). U holda f ( x )• cos nx juft, f ( x )• sin nx toq
(n = 1,2,3,...) funksiya bo'ladi.
(1) formulalardan foydalanib, f (x)
funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz:


I n | 0
a_n = — j f (x) cos nxdx = — j f (x) cos nxdx +
j IT


j f (x) cos nxdx =


| n n
= — j f (x) cos nxdx + j f (x) cos nxdx =
n L , ^J0 J
2 n
—jf (x)cosnxdx (n = 0,1,2,...).
ⁿ 0
I n 1 0 n
b_n = — j f ( x) sin nxdx = — j f (x) sin nxdx + j f (x) sin nxdx = ⁿL ⁿ L о


-j f (x) sin nxdx + j f (x) sin nxdx = 0


(n = 1,2,...).


Demak, juft f (x) funksiyaning Furye


koeffitsiyentlari
2 n
a_n = jf(x)cosnxdx (n = 0,1,2,...)
ⁿ о
b_n = 0 (n = 1,2,...)
bo‘lib, Furye qatori


760




_a ^да
f (^x) ~df⁺E ^an^{cos nx 2} n=1
bo‘ladi.
Aytaylik, f (x) funksiya [-7,7] da berilgan toq funksiya bo‘lsin: f (- x) = - f ( x ). U holda
f ( x )• cos nx toq, f ( x )• sin nx juft
(n = 1,2,3,...) funksiya bo‘ladi.
(1) formulalardan foydalanib, f (x)
funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz:
I 7 10 7
a_n = — j f (x) cos nxdx = — j f (x) cos nxdx + j f (x) cos nxdx


Demak, f (x) = x² funksiyaning Furye
qatori


n cos nx


n=1


bo‘ladi. ►
3-misol. Ushbu
f (x) = x (-7 < x < 7)
toq funksiyaning Furye qatori topilsin.


◄ Berilgan


funksiyaning


Furye


koeffitsiyentlarini hisoblaymiz:


bn = - j
7
⁷


л 2
x sin nxdx = —


x cos nx —
n


⁷ 1 7 A
+ — jcos nxdx I =
0 n{ I


2 (-1) n^-1
n


1 7
= — [-j f ( x) cos nxdx+f ( x) cos nxdx ] = 0
⁷ t


Demak, f (x) = x funksiyaning Furye qatori


(n = 0,1,2,...),


1 7
b_n = — j f (x) sin nxdx =


| 0 7
— j f (x) sin nxdx + j f (x) sin nxdx =
7 ' _n


2 2
^f ( x) ~ Z(^-1) “^sinnx bo‘ladi.^


n=1


2 7
= — j f ( x ) sin nxdx
⁷ L. .


(n =1,2,...).


Demak, toq f (x) funksiyaning Furye
koeffitsiyentlari an = 0, (n = 0,1,2,...),
2 7
b_n = — I f (x)sinnxdx, (n = 1,2,...)
⁷ о
bo‘lib, Furye qatori
^f (x) ~ E ^bn ^sin nx
n=1


Faraz qilaylik, f (x) funksiya [-p, p]
(p > 0) segmentda uzluksiz bo'lsin.
Ma’lumki, ushbu 7 t = — x p


almashtirish [-p, p] oraliqni [-7,7] o’tkazadi, ya’ni x o'zgaruvchi [-p, p] o'zgarganda t o'zgaruvchi [-7,7]
o'zgaradi. Endi


ga


da


da


bo‘ladi.
2-misol. Ushbu
f (x) = x² (-7 < x < 7)
juft funksiyaning Furye qatori topilsin.
◄ Avvalo berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz:
2 7 2, 22
a₀ = — I x dx = —7 ,
⁷ 0 ³


2 7
a_n = — j x² cos nxdx =
7


2 ₂ sin nx
—x
7 n


4 7 • Л
— I x sin nxdx =
7


4
7n


x cos nx
n


1 7 /
— I cos nxdx = (-1) • n ^J


deymiz. Unda ^( t) funksiya [-7,7] oraliqda berilgan uzluksiz funksiya bo‘ladi. Bu funksiyaning Furye koeffitsiyentlari
1 ⁷
a» = j ^(t)cosntdt, (n = 0,1,2,...)
⁷ -7
1 ⁷
b_n = j *^( t) sin ntdt (n = 1,2,...)
⁷ -7
ni topib, Furye qatorini yozamiz: a ?
^(t) ⁰ + E(a cos nt + b sin nt).
^v/ 2 ⁿ '
Modomiki,

л t = —x

p


e^f + ( e - e ~')Х n=1


(-1)ⁿ (-1)ⁿ⁺¹ .
— cs cos пл + n~s пл sin плx
1 + n л ^{2 * * * *} 1 + n л

■p

(n = 0,1,2...)

(n = 1,2...)


ekan, unda

FURYE QATORI. FUNKSIYALARNI FURYE QATORIGA YOYISH 1
^f (^x) ~df⁺E ^an^{cos nx 2} n=1 5
^f (^x) = e" (^{-1 - x -} 1) 6

b_n =— J p — x sin n — xdx . (n = 1,2...) bo'ladi. Natijada [-p, p] da berilgan f (x)
funksiyaning Furye qatorini quyidagicha
плx , . плx^Л
+ b_n sin

FURYE QATORI. FUNKSIYALARNI FURYE QATORIGA YOYISH 1
^f (^x) ~df⁺E ^an^{cos nx 2} n=1 5
^f (^x) = e" (^{-1 - x -} 1) 6

4-misol. Ushbu
^f (^x ) = ^e (^-1 - ^x - 1)
funksiyaning Furye qatori topilsin.
◄ Yuqoridagi formulalardan foydalanib, f (x) = e^x funksiyaning Furye
koeffitsiyentilarini topamiz:

FURYE QATORI. FUNKSIYALARNI FURYE QATORIGA YOYISH 1
^f (^x) ~df⁺E ^an^{cos nx 2} n=1 5
^f (^x) = e" (^{-1 - x -} 1) 6

= z—г (enл cos пл + ^e ¹ cos пл) =
1 + n⁷ л
^пл ( 1) / _j п+1 e e
= —Ц4(e¹ -e) = (-1) (n = 1,2,...)
1 + n²л² 1 + n²л^{2 V 7}
Demak,
^f (^x) = e" (^{-1 - x -} 1)
funksiyaning Furye qatori
bo‘ladi.k
Aytaylik, f (x) funksiya [a, b] da berilgan bo’lsin. [ a, b ] segment a_k nuqtalar yordamida bo'laklarga ajratilgan.
(a₀ = a, a_n = b).
Agar har bir (a_k,a_k+J (k = 0,1,2,...,n-l) da f (x) funksiya differensiallanuvchi
bo'lib, x = a_k nuqtalarda chekli o‘ng f'(ak + 0) (k = 0,1,2,...,n-1),
va chap
f'(ak -0) (k = 0,1,2,...,n)
hosilalarga ega bo‘lsa, f (x) funksiya [ a, b ] da bo‘lakli-differensiallanuvchi deyiladi. Endi Furye qatorining yaqinlashuvchi bo‘lishi haqidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.
Teorema. 2л davrli f (x) funksiya [-л, л] oraliqda bo'lakli-differensiallanuvchi bo'lsa, u holda bu funksiyaning Furye qatori от
+1 (^a* cos kx + b_k sin k=1
[-л,л] da yaqinlashuvchi bo'lib, uning yig'indisi
f ( x + 0) + f (x-0)

762

1 1
1 + n a - n

FURYE QATORI. FUNKSIYALARNI FURYE QATORIGA YOYISH 1
^f (^x) ~df⁺E ^an^{cos nx 2} n=1 5
^f (^x) = e" (^{-1 - x -} 1) 6

cos ax = — + >(-1) I ¹ I cos nx
n L a n=1 ^ a + n a - n)

bo'lishini topamiz.^


si a sin an 1 ^i .n ( 1 1 ^
f (x) — +> (-1) I 1 I cos nx
n |_ a n=1 ^ a + n a - n)
Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   Данко II.H, Попов А.Г. Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч. М. Высш. III К 1966. Ч 1-2.
   
2. 
   Романовский II. И Ряды Фурье. Теория поля. Аналитеческие и специалные функции. Преобразования Лапласа. М.: Наука, 1973 г.
   
3. 
   Гмурман В. Н. Эх,тимоллар назарияси ва математик статистика. Тошкент,
   

«Уцитувчи», 1978

4. 
   Н.М.Жабборов, Е.О.Аликулов, К^.С.Ахмедова Олий математика. 1-2-^исм . Карши 2010
   
5. 
   Гнеденко В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., Высшая школа, 1981.
   
6. 
   Sirojiddinov S.X., Mamatov M. Ehtimollar nazariyasi kursi. T. 0‘qituvchi, 1980.
   
7. 
   Беклимишсв Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М. Наука, 1964.
   
8. 
   Берман Г.Н Сборник задач по курсу математического анализа. М . Наука, 1965.
   
9. 
   Бугров Я.С Никольский С.М Элементы линейнойалгебры и аналитической геометрии. М. Наука, 1988.
   
10. 
    Бугров Я.С Никольский С.М Дифференциалные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Фурье. М. Наука 1961, 1985.
    
11. 
    Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике. М: Наука, 1987.
    
12. 
    Пискунов Н.С. Дифференциальное исчисления для втузов. М. Наука, 1985. Т. 1-2.
    
13. 
    Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982.
    

763

5-misol. Ushbu
f (x) = cos ax (-л - x - л , a Ф n e Z) funksiyaning Furye qatori topilsin va u yaqinlashishga tekshirilsin.
◄ Bu funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz. Qaralayotgan funksiya juft bo‘lgani uchun
b_n = 0 (n = 1,2,3,...)

7 ga teng bo'ladi.