Ma’ruza №3 O`zgarmas koefisentli ikkinchi tartibli chiziqli difirensial tenglamaning kanonik hollari

MA’RUZA № 3
O`zgarmas koefisentli ikkinchi tartibli chiziqli difirensial tenglamaning kanonik hollari.

Endi quyidagi ko`rinishdagi tenglamalarni qaraymiz:

(1)
Bu tenglamadagi barcha koefisentlar o`zgarmas sonlardan iborat. Shu sababdan (1) ga o`zgarmas koefisentli ikkinchi tartibli chiziqli difirensial tenglama deb yuritiladi. Endi shu tenglamani sodda holga keltirish haqidagi masalani qaraymiz. Bunig uchun xuddi yuqoridagiga o`xshab (1) ga mos keluvchi xarakteristik tenglamalarni tuzamiz.


, (2)
(2.1)

(2.2)

1. 
   tenglamani sodda holga keltirish uchun quyidagi hollarni alohida-alohida qaraymiz:
   

bo`lsin. Bu sohada (1) tenglama giperbolik tipdan iborat bo`ladi. Shu sababdan (1) ga mos keluvchi (2.1) (2.2) ko`rinishdagi xarakteristil tenglamalarning yechimlari haqiqiy va har xildir. Bu tenglamani integrallab quyidagi xarakteristikalarni hosil qilamiz.


Giperbolik tiplidagi tenglamalarni sodda holga keltirish yangi o`zgaruvchi larni quyidagicha aniqlaymiz:


Bu holda (1) tenglamada qatnashayotgan larning qiymatlarini yangi o`zgaruvchilar orqali ifodalab ,bu topilgan qiymatlarning barchasini (1) ga qo`ysak, yuqorida isbotlangan lemmaga asosan (1) ning ko`rinishi quyidagicha bo`ladi:

(3)

(4)

Bu tenglamaga mos ravishda giperbolik tipdagi tenglamalarning (1) va (2) ko`rinishdagi kanonik hollari deb yuritiladi. Bu tenglamadagi barcha koeffisentlar o`zgarmas sonlardan iborat bo`ladi.

b) agar bo`lsa u holda (1) tenglama parabolik tipdagi tenglamadan iborat bo`ladi. Ma’lumki bu holda tenglaga mos keluvchi xarakteristik tenglamaning yechimi bitta bo`ladi. Shu sababli u tenglani integrallab quyidagiga kelamiz:
Parabolik tipdagi tenglamalarni sodda holga keltirish uchun yangi o`zgaruvchi larni quyidagicha kiritamiz:

Bu holda ham (1) da qatnashayotgan Bu holda ham (1) da qatnashayotgan larni qiymatlarini yangi o`zgaruvchi lar orqali ifodalab, bu ifodalarni (1)ga qo`yganda uning ko`rinishi quyidagicha bo`ladi:
(5)
Bu yerda ham barcha koeffisentlar o`zgarmas sonlardan iborat. (5) ga Parabolik tipdagi tenglamalarning kanonik ko`rinishi deb aytiladi.
v) Agar bo`lsa bu sohada (1) tenglama elliptik tipdagi tenglamadan iborat bo`ladi. Bu holda elliptik tipdagi tenglamaga mos keluvchi xarakteristik tenglamalar bo`lgan (2.1) va (2.2) larnig yechimlari o`zaro qo`shma kompleks ifodadan iborat bo`ladi. Shu sababli xarakteristik tenglani integrallab quyidagiga kelamiz:

Elliptic tipdagi tenglamalarni sodda holga keltirish uchun yangi o`zgaruvchilar larni quyidagicha tanlaymiz:

Bu holda ham (1) da qatnashayotgan Bu holda ham (1) da qatnashayotgan larni qiymatlarini yangi o`zgaruvchi lar orqali ifodalab, bu ifodalarni (1)ga qo`yganda uning ko`rinishi quyidagicha bo`ladi:
(6)
Bu elliptic tipdagi tenglamaning kanonik ko`rinishidan iborat. Qaralayotgan tenglama o`zgarmas koeffisentli tenglamadan iborat bo`lsa , uholda mos keluvchi xarakteristik tenglamaning integralini qaraymiz. Buning uchun xarakteristik tenglamalar (2.1) va (2.2) larni quyidagicha yozamiz;

Bularni integrallab quyidagiga kelamiz:

Demak o`zgarmas koeffisentli tenglamaga mos keluvchi xarakteristik tenglamalarning integralari ko`rinishli tenglamalar oilasidan iborat ekan. Endi yuqorida keltirilgan (3),(4),(5) va (6) tenglamalarning kanonik ko`rinishini yanada soddaroq holga keltirish mumkin. Buning uchun esa quyidagi almashtirishlarni olamiz:

Bu yerda v yangi noma’lum funksiya, hozircha noma’lum sonlar.
Endi (7) dan tegishli hosilalarni hisoblaymiz:

Bu topilgan ifodani (3) ga qo`yamiz va giperbolik tipdagi tenglamaning eng sodda shaklini hosil qilamiz:

Oxirgi tenglikdan larning ixtiyoriyligidan ularni shunday tanlaymizki, buning natijasida oxirgi tenglamadagi lar qatnashmasin:

Bu holda oxirgi ifodani ko`rinishi quyidagicha bo`ladi:

(3.1)
Bu giperbolik tipdagi tenglamaning ikkinchi ko`rinishdagi eng sodda holi. Demak, giperbolik tipdagi tenglamaning eng sodda ko`rinishga keltirish uchun quyidagi almashtirishdan foydalanish kerak.
(4.1)

Bu giperbolik tipdagi tenglamaning ikkinchi ko`rinishdagi eng sodda holi demak, giperbolik tipdagi tenglamaning ikkinchi ko`rinishdagi eng sodda holga keltirish uchun quyidagi almashtirishdan foydalanamiz:

(7.1)
Xuddi shuningdek parabolik tipdagi tenglamaning eng sodda holini ( yani (5) ning)
Hosil qilish uchun quyidagi almashtirishdan foydalanamiz:
(7.2)
(5.1)

Bu parabolic tipdagi tenglamaning eng sodda holidan iborat.

Elliptik tipdagi tenglamaning eng sodda holga keltirish uchun esa

Almashtirishda yani (6) ni eng sodda holga keltirish uchun koeffisentlar orasida quyidagi munosabat bajarilishi kerak:

bo`lsa elliptik tipdagi tenglamaning eng sodda ko`rinishi quyidagicha bo`ladi:
(7.3)
Misol. Berilgan tenglamaning eng sodda holga keltiring va umumiy yechimini toping.


Bilarni berilgan tenglamaga qo`yamiz:
bu berilgan tenglamaning eng soda ko`rinishi

ni integrallaymiz.
buni yana bir marta integrallaymiz:

Bunga asosan berilgan tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo`ladi:

Bundagi lar ikkinchi tartibgacha difirensiallanuvchi ixtiyoriy funksiyalardan iborat.