Маъруза №5. Мавзу: Криптографик тизимларнинг назарий бардошлилиги

Мутлақо махфийликни таъминловчи криптотизимларнинг 
калитларига қўйиладиган талаблар 
Назарий бардошлилик масалаларига тегишли бўлган саволлар
билан шуғилланишда Шенноннинг ахборотлар назариясига олиб кирган
асосий сонли қиймат - «ноаниқлик» ѐки «энтропия» деб аталувчи
тушунчадан 
фойдаланамиз. 
Ноаниқлик 
– 
тасдифий 
миқдорлар
эҳтимоллигига мос келувчи тақсимот функцияси логарифимининг манфий 
ишора билан олинган ифодасини математик кутилмасидан иборат. Яъни
H(X/Y) (бу ифода бирор аниқ Y миқдорда номаълум X миқдорнинг
баҳосининг ноаниқлиги, деб ўқилади. Ноаниқлик P(X=x/Y= y) эҳтимоллик
қиймати логарифимининг математик кутилмаси орқали қуйидаги тенглик 
билан ифодаланади: 
бу ерда йиғиндилар X,Y - тасодифий миқдорларнинг барча мумкин 
бўлган қийматлари бўйича ҳисобланади. Ноаниқликлар, табиий бўлган
қуйидаги
қоидани қаноатлантиради. Ноаниқликлар тушунчаси орқали берилган
қуйидаги ифодалар: 
H(Y/X,Z,R) = 0,
(1.1)
H(X/Y,Z)=0,
(1.2) 
мос равишда қуйидагича тушунилади: (1.1) тенглик ўринли бўлади шунда ва

---

5 
фақат шунда, қачонки, X,Z,R миқдорлар биргаликда Y миқдорни бир 
қийматли аниқласа ва (1.2) тенглик ўринли бўлади, қачонки, Y ва Z
миқдорлар биргаликда X миқдорни бир қийматли аниқласа. Мутлақо 
махфийлик таърифини 
H(X/Y)= H(X),
(1.3)
кўринишида ифодалаш мумкин. Чунки, бу охирги тенглик фақат X ва
Y миқдорлар статистик нуқтаи назардан боғлиқ бўлмагандагина ўринли
бўлади. Махфий калитли криптотизимлар учун ушбу тенгсизлик 
ўринли бўлади. Бу ерда (1.2) тенгликдан ва маълум малумотларнинг 
ҳажмини қисқариши табиий ҳолда ноаниқлик қийматининг ўсишига
олиб келишишидан фойдаланилган. Агарда криптотизим ахборотларнинг 
мутлақо махфийлигини таъминласа, у ҳолда (1.3) ва (1.4) тенгликлардан 
ушбу
H(Z)=H(X)
(1.5)
тенгсизлик келиб чиқади. 
Юқоридаги (1.4) тенгсизлик – мутлақо махфий тизимлар учун Шеннон
чегарасини аниқлайди, яъни махфий калитнинг ноаниқлик қиймати шу калит
билан шифрланадиган маълумотнинг ноаниқлик қийматидан кичик 
бўлмаслиги керак. Агарда махфий калит элементлари сони L
Z
бўлган
алифбонинг белгиларидан тузилган бўлиб, унинг ҳажми (узунлиги) K га
тенг (яъни, калитни ташкил этувчи белгиларнинг умумий сони K га
тенг) бўлса, у ҳолда махфий калитнинг ноаниқлик қиймати баҳосини 
ифодаловчи ушбу 
тенгсизликда тенглик фақат махфий калит мутлақо тасодифий бўлгандагина
бажарилади. Худди шу каби очиқ маълумот элементлари сони L
X
бўлган алифбонинг белгиларидан тузилган бўлиб, уни ташкил этувчи 

---

6 
белгиларнинг умумий сони M бўлса, у ҳолда очиқ маълумот қуйидаги
ноаниқлик қийматининг баҳосида
H(X)

MlogL, (1.7) 
тенглик фақат очиқ маълумот мутлақо тасодифий бўлгандагина бажарилади.
Шундай қилиб, агарда L
X
=L
Z
бўлиб, очиқ маълумот бутунлай тасодифий
бўлса, охирги (1.6) ва (1.7) муносабатлардан Шеннон чегарасини аниқловчи
(1.3) муносабатдан K

M тенгсизликка эга бўламиз. Бу муносабат эса 
калитнинг ҳажми (узунлиги) очиқ маълумот ҳажмидан кам бўлмаслиги
кераклигини кўрсатади. Калит узунлигининг қуйи чегарасига Вернам 
шифрлаш криптотизимидан фойдаланилганда эришилади ва бунда K=M
бўлиб, калит узунлиги очиқ маълумот узунлигига тенг бўлади.