Ma’ruza 6 Funksiyani hosila yordamida tеkshirish. Funksiyaning o`suvchi va kamayuvchi bo`lishi. Funksiyaning ekstrеmum qiymati. Funksiyaning asimtotalari. Funksiyaning botiqligi va qabariqligi. Burilish nuqtasi

2. Funksiyaning ekstremum qiymatlari.
f(x) funksiya (a,b) da aniqlangan bo’lib x₁ (a,b) bo’lsin.²
1-ta’rif Absalyut miqdori bo’yicha yetarli darajada kichik bo’lgan ixtiyoriy (musbat yoki manfiy) x uchun f(x₁ + x)1) tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda f(x) funksiyani x₁ nuqtada maksimumga ega deyiladi.
2-ta'rif. Absolyut miqdori bo’yicha yetarli darajada kichik bo’lgan ixtiyoriy (musbat yoki manfiy) uchun f(x₂+ )>f(x₂) tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda f(x) funksiyani x₂ nuqtada minimumga ega deyiladi. Ta'riflardan ko’rinadiki f(x) fuknsiya (a,b) kesmada bir nechta nuqtalarda maksimumga va bir nechta nuqtalarda minimumga erishishi mumkin. Funksiyaning maksimum va minimum qiymatlariga funksiyaning ekstremum qiymatlari ham deyiladi.
3-teorema. (ekstremum mavjudligining zaruriy sharti) (a,b) intervalda differensiallanuvchi bo’lgan f(x) funksiya x₁ (a,b) nuqtada ekstremumga ega bo’lsa, u holda f '(x₁)⁼0 bo’ladi. Lekin f(x) funksiyaning biror x=x₀ (a,b) nuqtada chekli hosilasi mavjud bo’lib, f '(x_o)=0 bo’lsa, f(x) funksiyaning x=x_o da ekstremumga ega bo’lishi har doim kelib chiqmaydi. Masalan f(x)=x³ funksiya uchun f '(x)=3x² bo’lib, x=0 da f(0)=0 bo’lsa ham x=0 nuqtada funksiya ekstremumga ega emas, chunki bu funksiya qafiy o’suvchi flinksiyadir.
Demak 1-teorema funksiya ekstremum qiymatlariga erishishi uchun zarur lekin yetarli emas. Odatda funksiyaning hosilasini nolga aylantiradigan nuqtalarga funksiyaning kritik (tursun, stasionar) nuqtalari deyiladi.
a)f(x)=|x| funksiyaning x=0 nuqtada (f '(⁺0)⁼l ; f '(-0)=-1) hosilasi mavjud emas. Lekin funksiya x=0 nuqtada minimumga ega bo’lishi ravshan. Demak funksiyaning hosilasi mavjud bo’lmagan nuqtalarda uning ekstremum qiymatlari mavjud bo’lishi mumkin.
b) f(x)=x^2/3 funksiyaning x=0 nuqtadagi hosilasi cheksiz, lekin flinksiya x=0 da minumimga ega ekanligini ko’rish qiyin emas., Demak funksiya hosilasi cheksizga aylanadigan nuqtalarda ham ekstremum qiymatlariga erishar ekan.
y y

y= -x y=x
y=x^2/3
O x O x
Shunday qilib, f(x) funksiyaning ekstremum qiymatlariga erishadigan nuqtalarini
l)funksiyaning kritik nuqtalari;
2)funksiyaning hosilasi raavjud bo’lmagan nuqtalari;
3)funksiyaning hosilasi cheksiz bo’ladigan nuqtalari orasidan izlash kerak ekan.