Ma’ruza 6 Funksiyani hosila yordamida tеkshirish. Funksiyaning o`suvchi va kamayuvchi bo`lishi. Funksiyaning ekstrеmum qiymati. Funksiyaning asimtotalari. Funksiyaning botiqligi va qabariqligi. Burilish nuqtasi

Misol. y=f(x)=x³(x-5)²
1. y'=5x²(x-3)(x-5)
2. y'=0 5x²(x-3)(x-5)=0 x₁=0; x₂=3; x₃=5.
3.Topilgan kritik nuqtalar funksiyaning aniqlanish sohasi (- ;+ ) ni to’rtta intervalga bo’ladi:
(- ;0 ), (0;3), (3;5);(5; );
Bu intervallarda hosilaning ishoralarini tekshiramiz.
4.Kritik nuqtalarda funksiyaning qiymatlarini hisoblab hammasini quyidagi jadvalga kiritamiz

x	(- ,0)	0	(0;3)	3	(3;5)	5	(5; )
y	+	0	+	0	-	0	+
y		0		max		min

y_max=108 y_min=0
y


O 3 5 x


3. Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari.
[a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo’lgan f(x) funksiyaning shu kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari quyidagicha aniqlanadi⁴.
l.f(x) funksiyaning (a,b) intervaldagi hamma maksimum va minimum qiymatlari topiladi.
2.f(a) va f(b) lar hisoblanadi.
3.f(x) funksiyaning [a,b] dagi barcha maksimum qiymatlari va f(a),f(b) larning ichidagi eng kattasi f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng katta qiymati bo’ladi. f(x) funksiyaning [a,b] dagi barcha minimum qiymatlari va f(a), f(b) larning ichidagi eng kichigi f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng kichik qiymati bo’ladi.
Misol. y=x³-3x²-45x+225 funksiyaning [0,6] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatini toping.
1. y'=3x²-6x-45;
2. y'=0 3x²-6x-45=0 x²-2x-15=0, x_x=-3; x₂=5, x₁=-3 [0,6]; x₂=5 [0,6] =0=225; y(0)=225; y(5)=50; y(6)=63. y(0)=225 eng katta qiymati; y(5)=50 eng kichik qiymati.
4. Funksiyaning ekstremumini ikkinchi tartibli hosila yordamida topish.
Faraz qilaylik y=f(x) funksiyaning f'(x), f"(x) hosilalari mavjud bo’lib, x=x₁ nuqtada f(x)=0, f"(x)≠0 bo’lsin.
5-teorema. Agar f(x) funksiyaning x=x₁ nuqtadagi hosilasi f '(x₁)=0, f "(x₁)≠0 bo’lib, f"(x₁)>0 bo’lsa, f(x) funksiya x=x₁ nuqtada minimumga erishadi.
Agar f "(x₁)<0 bo’lsa flmksiya x=x₁ nuqtada maksimumga erishadi.
Misol. f(x)=x-2sinx funksiyaning [0; 2 ] da ekstremumini toping.
1. f '(x)=l-2cosx
2. f '(x)=0 l-2cosx=0 => xf=-; x₂=5-
3. f "(x)=2sinx. f'( )=2sin = Demak x₁= nuqtada funksiya minimumga ega.
f_min( )= -2sin = - f"(5 )=2sin5 =- <0 Demak
funksiya x₂=5 nuqtada maksimumga erishadi.
f_max(5 )=5 -2sin(5 )==5 + ≈6,96.