Ma’ruza Chekli elementlar usuli

Chekli elementlar usulining asosiy tushunchalari

Odatda variatsion usulda (Rits usulida) tashqi ta’sir natijasida hosil bo‘ladigan elastik ko‘chishlar quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:

(7.1)

bu yerda – tanlab olingan masalani chegaraviy shartlarini qanoatlantiruvchi funksiyalar, – to‘la potensial energiya funksionalini minimum yoki statsionar qiymatini qanoatlantiruvchi noma’lum koeffitsientlar.

Bu usul yordamida masala yechishdagi muammo ko‘chish komponentlari larni aproksimatsiya qiluvchi funksiyalarni tanlab olishdir. Bunday funksiyalarning soni (n) qancha ko‘p olinsa, masalani yechimi ham shuncha aniq bo‘ladi.

Chekli elementlar usulida esa hisoblanayotgan jism, kichik chekli elementlarga bo‘linadi. Bu holda har bir element ichidagi ko‘chishni ifodalovchi funksiyalar oddiy (chiziqli yoki kvadratik) funksiyalar orqali ifodalanadi. Chekli elementlarning uchlaridagi noma’lum koeffitsientlar (ya’ni tugunlardagi ko‘chishning qiymatlarini) funksionalning minimum yoki statsionar kiymatini ta’minlash uchun hosil qilinadigan tenglamalar xuddi variatsion usuldagidek mumkin bo‘lgan ko‘chish prinsipi asosida hosil qilinadi ya’ni:

(7.2)

Bu yerda, – elastik, inersiya, hajmiy va jism sirtiga qo‘yilgan kuchlarning bajargan virtual ishlari.

Hajmiy (fazoviy) kuchlanish holatida bu kuchlarning bajargan virtual ishlari quyidagicha aniqlanadi:

(7.3)

– fazoviy kuchlanish holatida elementar hajmdagi kuchlanishlarni ifodalovchi kuchlanish komponentlari; – elementar hajmning nisbiy bo‘ylama va siljish deformatsiyalarini ifodalovchi deformatsiya komponentlari; – nuqtaning ko‘chishini ifodalovchi ko‘chish komponentlari; – hajmiy kuchning koordinata o‘qlardagi proeksiyalari; – jism sirtiga ta’sir qilayotgan tashqi kuchning koordinata o‘qlaridagi proeksiyalari; – nuqtaning tezlanishini ifodalovchi tezlanish komponentlari; – variatsiyalash operatsiyasini bildiradi; V – deformatsiyalanuvchi jism hajmi; S – deformatsiyalanuvchi jismning tashqi kuch qo‘yilgan yuzasi; – materialning zichligi.

Elastik jismlar uchun kuchlanish komponentlari – deformatsiya komponentlari bilan umumlashgan Guk qonuni orqali quyidagicha bog‘lanadi.

(7.4)

Urinma kuchlanishning juftlik qonuniga asosan bo‘ladi.

Deformatsiya komponentalari ko‘chish komponentalari bilan Koshi munosabatlari orqali bog‘lanadi, ya’ni:

(7.5)

Bu yerda, – hajmiy deformatsiya; – Lame koeffitsientlari deyilib, elastiklik moduli E va Puasson koeffitsienti orqali quyidagicha aniqlanadi:

Bu (7.4), (7.5) munosabatlar fazoviy kuchlanish holati uchun yozilgan bo‘lib, cho‘zilish (siqilish), buralish, egilish va tekis kuchlanish holatlaridagi masalalarni ko‘rilganda ular soddalashib ketadi.

Ko‘rilayotgan masala uchun (7.2), (7.3), (7.4), (7.5) munosabatlar asosida variatsion tenglama hosil qilinib, u chekli elementlar usuli yordamida yechiladi.

Chekli elementlar usuli bilan masalani yechish quyidagi bosqichlardan iborat bo‘ladi:

1. 
   Hisoblanayotgan jismni elementlarga bo‘lish.
   
2. 
   Elementlar ichidagi ko‘chish va deformatsiyalarni element (uchlaridagi) tugunlardagi ko‘chishlar orqali ifodalash.
   
3. 
   Mumkin bo‘lgan ko‘chish prinsiplaridan foydalanib, butun jism uchun hisoblash tenglamalar sistemasini hosil qilish .
   
4. 
   Hosil qilingan tenglamalar sistemasini yechib, jismda hosil bo‘ladigan ko‘chish, deformatsiya va kuchlanishlarni aniqlash.
   

Chekli elementlar usuli bilan hisoblash ishlarini bajarish uchun masala shartiga qarab, har xil chekli elementlarni qo‘llash mumkin. Chekli element har doim tugunlarda va element ichida hosil bo‘ladigan ko‘chish va kuchlanishlarni o‘zida yaxshi aks ettirishi kerak. Odatda chekli elementlar sifatida, sterjen, balka, uchburchak, to‘rtburchak yoki fazoviy elementlar (tetraedr) qo‘llaniladi.

Chekli element ichidagi ko‘chishni element tugunlarining soniga qarab har xil ko‘rinishdagi polinomlar yordamida approksimatsiya qilinadi.