MA’ruza. Matrisalar tushunchasi. Determinantlar. 2- va 3-tartibli matrisa va determinantlar. Determinantlarni bevosita uning elementlari orqali ifodalash determinantning xossalari. Minor va algebraik to’ldiruvchilar. Reja

B

 



 

 

 

                          

(1) 

tenglik  o’rinli  bo’ladi.  Ikkinchi  tomondan 



  determinantni 

1, 2,..., n

  ustunlarini 

mos ravishda 

11

21

1

,

,...,

n

b b

b

 larga ko’paytirib, 





1

n



ustuniga ko’shamiz, so’ngra 

12

22

2

,

,...,

n

b b

b

  larga  ko’paytirib,





2

n



  ustuniga  ko’shamiz  va  hokazo 

1

2

,

,...,

n

n

nn

b b

b

  ko’paytirib, 

2n

  ustuniga  qo’shsak, 



  determinant  o’zgarmagan 

holda, uning barcha 

ij

b

 elementlari nolga aylanadi. Ikkinchi tomondan yuqori o’ng 

burchagida turgan nollar o’rniga  





1 1

2

...

,

,

1,

i

j

i

ij

in nj

a b

a b

a b

i j

n



 



 

elementlar joylashib, bu element 

C

 ko’paytma matrisaning aynan 

ij

c

 elementining 

o’zidan iboratdir va demak 

 

11

12

1

11

12

1

21

22

2

21

22

2

1

2

1

2

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

1

0

...

0

0

0

...

0

0

1

...

0

0

0

...

0

...

...

...

...

...

...

...

...

0

0

...

1

0

0

...

0

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

nn

a

a

a

c

c

c

a

a

a

c

c

c

a

a

a

c

c

c

 







 

bo’ladi. Laplas teoremasini yana bir bor qo’llab, determinantni uning oxirgi 

n

 ta 

ustuni bo’yicha yoyamiz. 

C

 minor uchun to’ldiruvchi minor 

 

1

n



 ga teng, 

C

 

minor  

1, 2,..., n

 satrlarda va 

1,

2, ..., 2

n

n

n





 ustunlarda joylashganligi tufayli  

   

1

1

s

n

C

  

 

 

bo’lib, 



 



2

1 2

1 2 ...

1

2 ... 2

2

2

2

n

s

n

n

n

n

n

n

n



   



    





 

 

bo’lganligi uchun  

 

 

 

 

 

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

n

n

n

n

n

n n

C

C

C

C







  





 

 



 

bo’ladi va nihoyat (1) dan isbotlanayotgan  

C

A B

A

B

 





 

tenglikni hosil qilamiz.  

 

Ushbu  teorema  bir nechta  matrisalarni ko’paytmalari  uchun ham  o’rinlidir, 

ya’ni  





1

2

1

2

det

...

det

det

... det

s

s

A A

A

A

A

A



 





 

, 

bu yerda 

 

i

n

A

M

K



.  

 

Teoremadan  xos  va  xosmas  matrisalar  uchun  muhim  xossalar  o’rinli 

bo’lishligi kelib chiqadi.  

 

Xossa  

1.  Xos matrisalar ko’paytmasi xosdir;  

2.  Agar  matrisalar  ko’paytmasida  biror  ko’paytuvchisi  xos  matrisa  bo’lsa,  u  holda 

ko’paytma ham xosdir;  

3.  Xosmas  matrisani  xosmas  matrisaga  ko’paytmasi  xosmasdir. Umuman  bir  nechta 

xosmas matrisalarning ko’paytmasi xosmasdir.  

Xuddi shu xossalarni transponirlangan matrisalar uchun aytish mumkin, chunki  





t

t

t

A B

B

A







 

bo’ladi (ko’rsating!).  

 

Bu  xossalarni  o’rinli  bo’lishini  ko’rsatishni  o’quvchining  ixtiyoriga  havola 

qilamiz.  

 

 

n

A

M

K



 matrisaning hamma 

ij

a

K



 elementlarini 

ij

A

K



 algebraik 

to’ldiruvchilardan 

n

 tartibli  

11

21

1

12

22

2

*

1

2

...

...

...

...

...

...

...

n

n

n

n

nn

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A



























 

 

 

              

(2) 

matrisani  tuzib  olamiz. 

*

A

  matrisaga 

A

    matrisaning  biriktirilgan  (yoki  o’zaro) 

matrisasi  deyiladi.  Shunday  hosil  bo’lgan 

*

A

  yana 

 

n

M

K

  qarashlidir.  Endi 

*

AA

 va 

*

A A

  ko’paytmalarni topamiz:  

*

*

0

...

0

0

...

0

... ... ... ...

0

0

...

d

d

AA

A A

d





























 

 

            

(3) 

diagonal  matrisadan  iborat  bo’lib,  bu  yerda 

det

d

A



.  Haqiqatan  ham, 

A

  

matrisani 

i

  satrini 

*

A

    matrisaning 

i

  ustunining  mos  ravishda  ko’paytirib 

qo’shsak, 

*

AA

  matrisaning 

i

 satr va 

i

  ustuniga  

1 1

2

2

...

i

i

i

i

in

ni

a A

a A

a A



 

 

element  hosil  bo’lib,  bu  element,  bizga  ma’lumki, 

d

  ga  teng  bo’ladi.  Xuddi 

shunday 

A

  matrisani 

i

 satrini 

*

A

  matrisani 

i

 ustunidan farqli boshqa ustunlariga 

mos ravishda ko’paytirib qo’shsak,  

1 1

2

2

...

,

i

j

i

j

in

nj

a A

a A

a A

i

j



 



 

element bizga ma’lumki, nolga teng bo’ladi. Xuddi shunday 

K

 kommutativ halqa 

bo’lganligi tufayli 

*

A A

 ham (3) ifodadan iborat bo’ladi. Bundan tashqari (3) dan  

 

*

0

...

0

0

...

0

det

det

... ... ... ...

0

0

...

d

d

AA

d



























 

*

det

det

n

A

A

d





 

*

det

n

d

A

d





 

tenglikni  hosil  qilamiz.  Agar 

K

  butun  sohali  halqa  bo’lib, 

A

    xosmas  matrisa 

bo’lsa,  u holda  

*

1

det

0

n

A

d







 

ni hosil qilamiz va demak 

*

A

 ham xosmas matrisa bo’ladi.  

 

Endi 

A

 xosmas matrisa bo’lsin. U holda quyidagi ko’paytmasi  

 

*

*

1

1

0

...

0

1

0

...

0

0

...

0

0

1

...

0

1

... ... ... ...

... ... ... ...

0

0

...

0

0

...

1

A

A

AA

d

d

d

d

E

d

d



 













 





 





 











 





 





 



 

birlik matrisa bo’lib, 

A

 matrisaga 

*

1

A

d

 teskari matrisa  

1

11

21

2

12

22

1

*

1

2

...

...

1

...

...

...

...

...

n

n

n

n

nn

A

A

A

d

d

d

A

A

A

A

A

d

d

d

d

A

A

A

d

d

d















































 

bo’ladi. Tabiiyki, 

1

*

1

A

A

d





 ham xosmas matrisadir.  

 

Misol. 

3

1

3

1

1 0

0

1

1

A

























 matrisaning determinanti 

1

d

A



 

  va demak 

xosmas  matrisa  bo’lib,  unga  teskari  matrisa  mavjud. 

A

ning  algebraik 

to’ldiruvchilari  

11

21

31

12

22

32

13

23

33

1,

2,

3,

1,

3,

3,

1,

3,

4

A

A

A

A

A

A

A

A

A

 





 







 

 

 

va demak tirkalgan matrisa 

*

1

2

3

1

3

3

1

3

4

A











 

















 

bo’lib, teskari matrisa  

1

1

2

3

1

3

3

1

3

4

A



































 

matrisadan iborat va osonlik bilan tekshirib ko’rish mumkinki  

1

1

AA

A A

E









 

bo’ladi (tekshiring!).