MA’ruza. Matrisalar tushunchasi. Determinantlar. 2- va 3-tartibli matrisa va determinantlar. Determinantlarni bevosita uning elementlari orqali ifodalash determinantning xossalari. Minor va algebraik to’ldiruvchilar. Reja
Download 0.67 Mb. Pdf ko'rish
|
MA’RUZA 2
|
3. Matrisalar algebrasi Bizga
n tartibli 11 12
21 22 2 1 2 ... ... ...
... ...
... ...
n n n n nn a a a a a a A a a a ,
(1) yoki qisqacha
, 1, ,
1, ij A a i n j n
(2)
matrisalar n M K to’plami berilgan bo’lsin.
to’plamda ikkita matrisalar teng deyiladi, agarda ularning mos satr va ustuni elementlari teng bo’lsa.
n M K to’plamda qo’shish amalini quyidagicha aniqlaymiz: ,
A B M K A B deb, bu matrisalarning mos satr va ustun elementlarini qo’shish natijasi hosil bo’lgan n tartibli matrisasiga aytamiz, ya’ni agar 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... , ... ... ...
... ...
n n ij n n nn b b b b b b B b K b b b ko’rinishda bo’lsa, u holda 11 11
1 21 21 2 2 1 1 ...
... ...
... ...
... n n n n n n nn nn a b a b a b a b A B a b a b
(3)
bo’ladi, ij ij a b K
, , 1, i j n bo’lganligidan n A B M K
.
Qo’shish amali kommutativ A B B A
bo’lishligi ko’rinib turibdi. Osonlik bilan ko’rish mumkinki, qo’shish assosiativ, ya’ni
, , n A B C M K uchun
B C A B C . Elementlari nollardan iborat 0 ... 0 ... ... ... 0 ...
0 n M K
matrisa neytral matrisa va
n A M K
matrisaga
11 1 1 ... ...
... ...
... n n n nn a a A M K a a
qarama-qarshi matrisa bo’ladi.
Endi biz n M K to’plamga ko’paytirish amalini quyidagicha aniqlaymiz: A va
B matrisalarning ko’paytmasi deb, shunday A B matrisaga aytiladiki, uning i satr va j ustunida turgan elementi A matrisaning i satridagi va B
matrisaning j ustunidagi mos elementlar ko’paytmasining yig’indisiga teng, ya’ni element 1 1
2 2 1 ... n i j i j in nj ik kj k a b a b a b a b
(4) yig’indidan iborat. Berilgan ta’rifdan ko’rinib turibdiki, shunday ko’paytirish natijasida hosil bo’lgan A B matrisa n tartibli kvadratik matrisa bo’lib, uning elementlari
ga qarashlidir, ya’ni
bo’ladi.
Misol 1. 2
R da berilgan 2 3
A va 3 4 6 5 B
matrisalarning ko’paytmasi 2 3 3 6 2 4 3 5
24 23 5 3 7 6 5 4 7 5 27 15
A B
bo’ladi. Matrisalarni ko’paytirish kommutativ emas, ya’ni A B B A
.
Masalan, berilgan misolimizda 14 37 13 53
B A
bo’lib, A B B A
bo’ladi.
Matrisalarni ko’paytirish assosiativdir, ya’ni , ,
n A B C M K uchun
A B C
o’rinli bo’lishligini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, agar ij A a , ij B b , ij C c yozib, so’ngra
, ij ij AB U u BC V v
,
ij AB C S s A BC T t
deb olib, S T ko’rsatishimiz kerak. Biroq 1 1 , n n il ik kl kj kl lj k l u v b v b c
, S TC T AV tengliklarga ko’ra 1 1
, n n n ij il lj ik kl lj l l k s u c a b c
1 1 1 , n n n ij ik kj ik kl lj k k l t a v a b c
ya’ni , 1,
ij s t i j n .
1 0 ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... 1 n E M K matrisa birlik matrisa bo’ladi, ya’ni
AE EA A tenglik o’rinlidir.
dagi har bir matrisani teskarilanuvchi bo’lishligini tekshirishimiz zarur bo’ladi, ya’ni
va B A E
tenglikni qanoatlantiruvchi
matrisani mavjudligini ko’rsatish lozim bo’ladi. Bunday matrisa umuman olganda hamma vaqt ham mavjud bo’lavermaydi, masalan,
matrisaga teskari matrisa mavjud emas, chunki A O O A O
.
Endi n M K kiritilgan qo’shish va ko’paytirish amallarini bog’lovchi distributivlik, ya’ni , ,
n A B C M uchun , A B C AC BC A B C AB AC
qonunini o’rinli bo’lishligini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, 1 1 1
n n ik ik kj ik kj ik kj k k k a b c a c b c
tenglikni o’rinli bo’lishligini chap tomoni
B C matrisaning i -satri va j - ustunida turgan elementidan iborat, o’ng tomon esa AC BC matrisalarning xuddi shu yerda turuvchi elementidir. Ikkinchi A B C AB AC
tenglikning to’g’riligi ham xuddi shu yo’l bilan ko’rsatiladi. Shunday qilib 2
R da
1 0 0 0 A O va 0 0 0 1 B O bo’lib, ularning ko’paytmasi 0 0 0 0
A B O nol matrisadan iboratdir.
n M K da qo’shish va ko’paytirish amallaridan bo’lak tashqi ko’paytma deb ataluvchi ko’paytma ham qaraladi:
n A M K
va K uchun 11 1 1 ...
... ...
... ...
n n nn a a A a a
shunday tashqi ko’paytmadan hosil bo’lgan
n A M K bo’ladi, chunki A
ham n tartibli matrisa bo’lib,
1, ij a K i j n .
K kommutativ 1 birlik halqa uchun
da kiritilgan tashqi ko’paytma uchun quyidagi xossalar 1.
A A
; 2.
A A
; 3. A A
; 4.
1 A A
; 5.
B A B ; 6.
A B A B AB .
, n A B M K , ,
uchun o’rinli bo’ladi.
Matrisalarga kiritilgan qo’shish amalini to’g’ridan-to’g’ri nokvadrat, ya’ni m n tartibli matrisalar ,
M K to’plamida ham berish bo’lsin. Natijada ,
M K to’plam shunday aniqlangan qo’shish amaliga nisbatan abel gruppasi bo’ladi, lekin
, m n M K to’plamga
da aniqlangan ko’paytirish amalini kirita olmaymiz, chunki birinchisining satrlar soni ikkinchisining ustunlar soniga teng emas, ammo ,
M K dagi matrisalar uchun tashqi ko’paytmani to’g’ridan to’g’ri kirita olamiz va ular uchun 6 xossadan boshqa hamma qolgan xossalar o’rinli bo’ladi. 4.Teskari matrisa
Biz ushbu mavzuimizda n M K matrisalar algebrasidagi matrisalarning determinantlari bilan bog’liq masalalar bilan shug’ullanamiz.
Ta’rif 13.
matrisaning det 0
bo’lsa, A matrisasi xos (maxsus) va det
0 A bo’lsa, A matrisaga xosmas (maxsusmas) matrisa deyiladi.
Shuni ta’kidlaymizki, agar A xosmas yoki xos bo’lsa, u holda 2
transponirlangan ham xosmas yoki xos bo’ladi. Teorema. , ,
n A B C M K uchun det
det det
A B A B
tenglik o’rinlidir, ya’ni
matrisalarning ko’paytmasining determinanti determinantlarining ko’paytmasiga tengdir.
Isbot. Bizga ij A a va ij B b matrisalar berilgan bo’lib, ularning ko’paytmasi
ij A B C c
bo’lsin. Bu matrisalardan 2n tartibli 11 12 1 21 22 2 1 2 11 12 21 22 2 1 2 ...
0 0 ... 0 ...
0 0 ... 0 ...
... ...
... ...
... ...
... ...
0 0 ... 0 1 0 ... 0 ... 0 1 ... 0 ...
... ...
... ...
... ...
... ...
0 0 ... 1 ...
n n n n nn nn n n n nn a a a a a a a a a b b b b b b b b b
determinantni tuzib olamiz. Laplas teoremasiga asosan A Download 0.67 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|