Mashinasozlik

ANDIJON MASHINASOZLIK 

INSTITUTI 

 

“MASHINASOZLIK” FAKULTETI 

 

“OLIY MATEMATIKA” 

KAFEDRASI 

 

“Oliy matematika” fanidan 

 

Kompleks sonlar va ular ustida amallar 

 mavzusida yozilgan 

 

 

 

 

 

 

 

Bajardi: 

 

 

 

 

136-guruh talabasi Sotvoldiyev Qanotbek 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Andijon 2016

 

 

 

 

R E J A: 

1. 

Kompleks sonlar va ular ustida amallar. 

2. 

2.1. Kompleks sonning logarifmi. 

2.2. Soha tushunchasi. 

2.3. Jordan chizig‘i. 

2.4. Stereografik proyeksiya. 

3.  Kompleks o‘zgaruvchining funksiyalari va ularning aniqlanish sohasi. 

4. Funksiyaning limiti va uzluksizligi. 

5. Asosiy elementar funksiyalar. 

6. Kompleks o‘zgaruvchili funksiyasining hosilasi. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. 1-ta‟rif. Kompleks son deb x+iy ko‘rinishdagi ifodaga aytiladi, bunda x va y – 

haqiqiy  sonlar,  i  –  mavhum  birlik;   

1





i

  kompleks  sonlarni    z    harfi  bilan 

belgilaymiz,  ya’ni 

,

y

i

x

z





x  –  kompleks  sonning  haqiqiy  qismi, 

y

i



-  kompleks 

sonning  mavhum  qismi,  y  –  mavhum  qismining koeffitsiyenti  deyiladi.  x  va  y lar 

quyidagicha belgilanadi: 

z

m

J

y

,

z

e

R

x





 

 

2-ta‟rif. Agar 

2

1

2

1

y

y

,

x

x





 bo‘lsa, 

,

y

i

x

z

1

1

1





2

2

2

y

i

x

z





- ikki kompleks son 

o‘zaro teng, ya’ni 

2

1

z

z



 deyiladi. 

3-ta‟rif. 

y

i

x

z





 

va 

y

i

x

z





  kompleks  sonlar  qo„shma  kompleks  sonlar 

deyiladi. 

Kompleks  sonlarning  geometrik  tasviri  va  trigonometric  formasini  ko‘ramiz. 

To‘g‘ri  burchakli  Dekart  koordinatalar  sistemasidagi  har  bir  (x,  y)  nuqtaga  bitta 

y

i

x



  kompleks  sonni  mos  keltiraylik.  Umuman  shu  usulda  har  bir  kompleks 

songa  tekislikda  bitta  nuqta  mos  keladi  va  aksincha  tekislikdagi  har  bir  nuqtaga 

bitta kompleks son mos keladi. Abssissa o‘qi haqiqiy sonlarning geometrik o‘rni, 

ordinata  o‘qi  mavhum  iy  sonlarning  geometric  o‘rni  bo‘ladi.  Shuning  uchun 

absississalar o‘qi haqiqiy o‘q, ordinatalar o‘qi mavhum o„q deyiladi. 

 

Tekislikning  har  bir  (x,  y)  nuqtasiga  koordinatalar  boshidan  chiqqan,  oxiri    shu 

nuqtada  bo‘lgan  vektorni  mos  keltirish  mumkin.  Shuningdek,  har  bir 

(x+iy) 

kompleks songa koordinatalar  x  va  y  bo‘lgan 

OM

 vektor  mos keltiriladi. 

1-rasmgaga asosan: 









sin

r

y

,

cos

r

x

,

x

y

arctg

,

x

y

tg

,

y

x

r













2

2

. 

Unda 













sin

i

cos

r

sin

r

i

cos

r

y

i

x

z













, yoki 

                                                    









sin

i

cos

r

z





                                                 (1) 

bunda r – kompleks sonning moduli, ya’ni 

z

r



, 



  - 

uning argumenti 

z

g

r

A





. 

(Agar 











z

g

r

A

 

bo‘lsa,  unda    Argz=argz    bo‘ladi    argz  –  bosh  argument 

deyiladi). (1) formula  – kompleks sonning  trigonometrik formasi deyiladi. Agar 

Eyler formulasini 







sin

i

cos

e

i





  e’tiborga olsak, unda 



i

e

r

z



 

(2) kompleks sonning ko„rsatkichli formasi deyiladi. 

 

           y 

   

 

                                            M(x, y) 

                                              

                      r                    (x+iy) 

                          



              

y

                      

x  

         0                

x              M  

                                           N(x, -y)                

                                           (x+iy) 

 

 

1-rasm 

1-misol. 

i

l

z





 trigonometrik formaga keltirilsin. 

Yechish. 

4

1

2

1

1

1

1

2

2

2

2

/

tg

y

x

r

,

y

,

x



























.  Demak 

















4

4

2





sin

i

cos

z

 

2-misol. 

1





z

 son trigonometrik formaga keltirilsin. 

Yechish. 











sin

i

cos

z

,

,

tg

,

y

x

r

,

y

,

x





















0

1

0

1

2

2

. 

Kompleks sonlar ustidagi amallar. 

1) qo‘shish va ayirish. 

,

y

i

x

z

1

1

1





 

2

2

2

y

i

x

z





 

                           



 





 



2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

y

y

i

x

x

y

i

x

y

i

x

z

z



















                              (3) 

Demak,  kompleks  sonlar  qo‘shilganda  (ayrilganda)  ularning  haqiqiy  qismlari 

alohida  va  mavhum  qismlari  alohida  qo‘shiladi  (ayriladi).  Kompleks  sonlarni 

qo‘shish  va  ayirish  vektorlar  qo‘shilishi  va  ayrilishiga  mos  bo‘ladi  (2-rasmga 

qarang). 

 

1

2

z

z



 - kompleks sonlar ayirmasining moduli. 

2) ko‘paytirish va bo‘lish. 

,

y

i

x

z

1

1

1





 

2

2

2

y

i

x

z





 

a) 





 







1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

y

x

y

x

i

y

y

x

x

y

i

x

y

i

x

z

z

















. 

Agar kompleks sonlarni trigonometrik formada olsak, unda  



 















































2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1















































































sin

i

cos

r

r

z

z

yoki

,

sin

i

cos

r

r

sin

cos

cos

sin

i

sin

sin

cos

cos

r

r

sin

i

cos

r

sin

i

cos

r

z

z

 

Demak, kompleks sonlarni ko‘paytirishda modullari ko‘paytiriladi, argumentlari 

esa qo‘shiladi. 





;

e

r

r

e

e

r

r

z

z

,

e

r

z

,

e

r

z

i

i

i

i

i

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1































2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1



























i

i

i

i

i

e

r

r

e

e

r

r

z

z

,

e

r

z

,

e

r

z

 

b) 















 































2

2

2

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

2

1

y

x

y

x

y

x

i

y

y

x

x

y

i

x

y

i

x

y

i

x

y

i

x

y

i

x

y

i

x

z

z

 

 

 

                                

1

z                       

2

1

z

z



 

 

 

 

                                                        

2

z  

     

2

1

z

z



 

 

 

2-rasm 

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

1

2

1

y

x

y

x

y

x

i

y

x

y

y

x

x













.  

Agar  

1

z

 va 

2

z  

trigonometrik formada berilgan bo‘lsa, 

unda 

















2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

21

1































sin

i

cos

r

r

e

r

r

e

r

e

r

z

z

i

i

i

 

                                













2

1

2

1

2

1

2

1



















sin

i

cos

r

r

z

z

                                        (5) 

Demak, kompleks sonlarni bo‘lishda ularning argumentlari ayriladi, modullari 

bo‘linadi. 

3) darajaga ko‘tarish va ildiz chiqarish. 

a) 



i

e

r

z



,  kompleks  sonini  n–darajaga  ko‘taraylik 

 





n

i

n

n

i

n

e

r

e

r

z





,  yoki  









n

sin

i

n

cos

r

z

n

n





                                    (6)  

Demak,  trigonometrik  formada  berilgan  kompleks  sonni  darajaga  ko‘tarishda 

modul shu darajaga ko‘tariladi, argument darajaga ko‘paytiriladi. 

Agar  (6)  da  r=1  bo‘lsa 

















sin

i

n

cos

sin

i

cos

r

n







  Muavr  formulasi  hosil 

bo‘ladi. 

b)  



i

e

r

z



, kompleks sonini n–darajali ildizi w bo‘lsin, ya’ni 



 







ni

'

ya

,

n

k

,

z

,

k

n

,

r

n

sin

i

n

cos

sin

i

cos

r

,

n

sin

i

n

cos

w

z

,

e

w

z

n

n

n

n

n

i

n





































2

2































                            

















n

k

sin

i

n

k

cos

r

z

n

n









2

2

                                     (7) 

3-misol. 









sin

i

cos

?











8

8

8

3

, chunki 











,

r

8

64

. 

Yechish. 

2

1

0

2

2

2

8

3

,

,

k

n

k

sin

i

n

k

cos

































, 

bo‘lganda 





















3

1

2

3

1

8

3

i

i