Математическая модель возникновения эпидемии коронавируса

Обобщение

На самом деле эффективная скорость контакта, конечно, не совсем равна нулю для t > T, Значение, полученное заR(∞) тем не менее, можно рассматривать как нижнюю границу реального значения, поскольку несомненно, что окончательный размер эпидемии будет больше с ненулевыми контактами, чем с нулевыми контактами для t > T, По этому вопросу
следует напомнить, что эпидемические модели типа SIR или SEIR с переменной частотой контактов не являются
«монотонными», в том смысле, что снижение частоты контактов может иногда приводить к большему конечному размеру эпидемии. [1].
Теперь рассмотрим случай, когда скорость контакта не уменьшается до 0, а просто делится на число q > 1 так что
R₀/q < 1в то время как R₀ > 1, Снижение до 0 соответствует пограничному случаю, когдаqстремится к бесконечности. В этом случае мы имеем дляt > T,

dS a I
= − S ,

dt q N

dE a I
= S

dt q N

− b E,

dI
= b E − c I,

dt

dR
= c I.

dt

По тем же соображениям, что и в разделе 1, мы имеем для t > T

1 dS
S dt
a dR
= − .
q c N dt

Путем интеграции между t = T и t = +∞мы выводим, что

S(∞)
log
S(T)
= − ^R0 (R(∞) − R(T)).
q N

Предположим, что в разделе 2 это время T не является ни слишком маленьким, ни слишком большим, то есть в лотке на рисунке 2^b, в качествеS(∞) = N − R(∞) и
S(T) = N − E(T) − I(T) − R(T) ≃ N − R₀R(T),
у нас есть

N − R(∞) ≃ [N − R₀

R₀

( )
R(T)] exp − _{q N} (R(∞) − R(T)) .

в качестве R(T)/N должен быть маленьким, у нас есть exp( ^R0R(T) ) ≃ 1 + ^R0R(T) и

q N q N

R(∞)

N
1 −
_{≃ [1 −} ^R0 ^R(T) ₊ ^R0^R(T) _{] exp(−} R₀ ^R(∞) _).

N

q N

q

N
золото R₀/q < 1по гипотезе. Итак, решениеR(∞)/N этого уравнения будет мало до 1, согласно классическому графическому аргументу [5]. Используя этоexp(− ^{R0 R(∞)} ) ≃ 1 − ^{R0 R(∞)} мы наконец получаем
q N q N

1 − 1/q

1 − /
R(∞) ≃ R(T) R₀
R₀ q
^. (14)

когда q → +∞мы находим, что R(∞) ≃ R(T) R₀, Мы также заметили, что(1 − 1/q)/(1 − R₀/q) > 1так и должно быть.
Рисунок 3 сравнивает, для T зафиксировано как на рисунке 2^a и для разных значений параметра q, окончательный размер эпидемии в логарифмическом масштабе log(R(∞)/N ) получено численным моделированием по формуле (14) для q > R₀ и со строго положительным решением уравнения

R(∞)
1 −
N
≃ exp − ^R0

(
q
R(∞) ₍₁₅₎

)
N

для q < R₀, Действительно, в последнем случае наблюдается крупная эпидемия, и достаточно адаптировать уравнение (12), которое более или менее не зависит от исходной зараженной фракции.1 − S(T)/N ≃ R₀ R(T)/N до тех пор, пока это мало, что мы предположили. Мы видим, что эти два приближения перестают быть действительными в окрестностиq = R₀

,

Рисунок 3 log(R(∞)/N ) в зависимости от q (сплошная линия), по сравнению с формулой (14) (маленькие кружки), действительной для q > R₀ и с решением уравнения (15) (мелкие бриллианты) справедливо для q < R₀,

Обратите внимание, что окончательный размер эпидемии изменяется на несколько порядков, когда q близко к R₀,
Поскольку количественно определить очень сложноqПредсказание окончательного размера эпидемии также затруднено в
этой области. Есть только еслиq значительно больше, чем R₀ что прогноз по формуле (14) становится менее чувствительным к значению q,

4.