Математическое моделирования обслуживания станций потока поездов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ СТАНЦИЙ ПОТОКА ПОЕЗДОВ
 
Железнодорожный транспорт – динамический комплекс многолинейных и многофазных смешанных систем. Их функционирование характеризуется значительными колебаниями, так как распределения транспортных потоков в них нестационарны и существуют сложные вероятностные обратные связи и зависимости между различными элементами. Поэтому решение практических задач с использованием только аналитических методов сопряжено с большими трудностями, а их результаты в большинстве случаях не являются абсолютно эффективными. Кроме того, решение задач с использованием аналитических зависимостей не позволяет в комплексе оценить другие параметры рассматриваемых систем, влияющих на эффективность их функционирования.
Например, имеется ряд формул, позволяющих рассчитать потребное число путей в парке приема сортировочной станции. Наиболее совершенные из них учитывают неравномерность входящего поездопотока и, связанные с ней, возможные задержки поездов по неприему, уровень загрузки сортировочной горки и ряд других факторов. Однако характер неравномерности оценивается не только коэффициентом вариации, но и законом распределения интервалов между поступлением требований; необходим также учет и законов распределения интервалов между выходящими потоками требований времени их обслуживания в последующем аппарате и др. Кроме того, все эти формулы не позволяют в комплексе оценить число и характер задержек поездов по неприему, распределение времени ожидания и времени обслуживания требований, а большинство входящих в них параметров усреднены.
Наиболее полно процесс функционирования транспортных систем можно изучать с использованием метода математического моделирования. Основа метода – эксперимент, которым проверяют справедливость гипотез, моделей и определяют значение показателей и коэффициентов. Эксперимент – это научно поставленное наблюдение за исследуемым явлением в точно учитываемых условиях, позволяющее следить за его ходом и воссоздавать каждый раз при повторении последних.
Математические модели можно подразделить на два класса.
Для аналитических моделей характерны аналитические зависимости между параметрами задачи, записанные в любом виде, - уравнения алгебраические, с частными производными, обыкновенные дифференциальные и др. Чтобы аналитическое описание процесса было возможно, как правило, принимают те или иные допущения и упрощения. Однако с помощью аналитических моделей удается с удовлетворительной точностью описать только сравнительно простые процессы, где число взаимодействующих элементов не слишком велико.
Для описания сложных транспортных процессов с большим числом случайных факторов целесообразно применение статистического или имитационного моделирования. Его сущность состоит в том, что исследуемый процесс как бы копируется на вычислительной машине. Всякий раз, когда в его ход вмешивается какая-либо случайность, ее влияние учитывают "розыгрышем", напоминающим бросание жребия. В результате многократного повторения такой процедуры удается получить характеристики исхода операции с любой степенью точности. Преимущество статистических моделей перед аналитическими состоит в том, что они позволяют учесть большее число факторов и не требуют грубых упрощений и допущений. Однако в "чистом" виде статистические модели существуют редко. В большинстве из них в той или иной мере присутствуют аналитические выражения, характеризующие взаимосвязь между отдельными параметрами.
В общем случае процедура разработки и реализации статистической модели включает следующие основные этапы:
 установление границ исследуемого объекта и его декомпозиция на отдельные элементарные подсистемы;
 сбор и обработка статистических данных в целях установления характеристик поступающего в подсистемы потока требований на обслуживание;
 собственно построение статистической модели;
 пробное моделирование для определения момента вхождения в стационарный режим;
 собственно процесс моделирования и анализ его результатов.
В качестве примера в общем виде рассмотрим процедуру разработки статистической модели для оценки влияния параметров подсистемы сортировочной станции "Прилегающий перегон – парк приема – горка" на показатели ее функционирования.
Первая процедура разработки модели включает декомпозицию объекта на отдельные элементы, в качестве которых выступают обслуживающие аппараты. В рассматриваемой подсистеме к ним относятся: пути парка приема, бригады технического и коммерческого осмотра составов и сортировочная горка. Занятость всех путей парка приема может вызвать задержку поездов на подходах к станции. Поэтому к числу результирующих показателей, определяемых в процессе моделирования следует отнести число задержанных поездов по неприему и среднюю продолжительность одной задержки. Следует также заметить, что если пути парка специализированы по направлениям подхода, то первый элемент подсистемы необходимо также подразделить на отдельные составляющие. Кроме того, если одновременный прием двух и более поездов с некоторых подходов невозможен из-за враждебности маршрутов, то в качестве первого элемента следует рассматривать не пути парка, а входную горловину станции. В этом случае необходимо моделировать и направления подхода в целях исключения случаев невозможного приема в парк двух и более поездов с враждебными маршрутами, поступающими на станцию с интервалами меньшими, чем время занятия горловины одним поездом.
Следующим элементом подсистемы являются бригады технического осмотра. Если в парке работает одна бригада, то данный элемент следует рассматривать как одноканальную систему массового обслуживания (СМО). В противном случае – как многоканальную, в которой число обслуживающих аппаратов равно числу бригад.
Последним элементом является сортировочная горка, которую, также как и в предыдущем случае, следует рассматривать в качестве одноканальной СМО при отсутствии параллельного роспуска или двухканальной – при наличии такового.
На втором этапе построения модели необходимо установление закономерностей в поступлении и обслуживании требований. Очевидно, что на число и продолжительность задержек поездов по неприему станцией оказывает влияние не только число путей и продолжительность их занятия составами, но и неравномерность поступления требований во времени. Указанная неравномерность влияет и на простой составов в ожидании осмотра бригадой ПТО. Кроме того, время занятия пути зависит от продолжительности осмотра составов, величины горочного технологического интервала и др. В свою очередь продолжительность осмотра составов и время их расформирования на горке напрямую зависят от числа вагонов в них.
Для установления характеристик перечисленных параметров необходимо собрать статистические данные об: интервалах между поступлением поездов в парк приема сортировочной станции, числе вагонов в составах, продолжительности их технического и коммерческого осмотра, времени расформирования на горке. Затем эти данные должны быть обработаны с использованием методов математической статистики. В процессе такой обработки устанавливаются законы распределения случайных величин, выявляются эмпирические и аналитические зависимости между отдельными параметрами или формулируется вывод о отсутствии каких-либо закономерностей.
Следующий этап включает собственно построение статистической модели, т.е. разработку алгоритма вычислений и написание программы на одном из алгоритмических языков. Ниже на конкретных примерах будет рассмотрена процедура разработки алгоритма статистического моделирования.
Принцип статистического моделирования требует многократного повторения статистического эксперимента с независимыми выборками случайных чисел в целях исключения влияния случайного стечения обстоятельств, получив результаты и их оценки как среднее значение большого числа реализаций. При этом количество последних зависит от характера задачи и требований, предъявляемых к точности результатов моделирования. Чтобы статистическая зависимость как можно меньше сказывалась на точности оценок (а потребное число реализаций модели было минимальным), накапливать информацию необходимо начинать с момента, определяющего начало стационарного режима. В общем случае длительность входа сложной системы в стационарный режим можно определить лишь экспериментально пробным моделированием небольшого числа характерных вариантов исходного состояния системы. Моделированием работы сортировочной станции установлено, что продолжительность входа в стационарный режим, когда при начале моделирования все элементы приняты свободными, не превышает 24 ч. Критерием при этом принято считать среднее число составов в парке приема станции.
При заданной достоверности потребное число реализаций может быть определено методом, когда моделирование прекращается, если математическое ожидание и дисперсия исследуемой статистической величины лежат в заданных пределах. Если при исследовании работы станции за одну реализацию модели принять одни сутки, то при 20 моделируемых расчетных сутках относительная ошибка составит не более 5%, а при числе суток 30, не превысит 1%. При работе станции в переходном режиме потребное число реализаций можно задавать как постоянную величину или устанавливать в ходе моделирования.
В первом случае число реализаций (однократных прогонов модели за смену или сутки), чтобы с заданным уровнем достоверности среднее арифметическое исследуемой статистической величины отклонялось от ее математического ожидания на величину не больше чем , можно определить по формуле:
,
где - уровень достоверности;
- относительная ошибка;
- функция.
Тогда при заданных и для оценки точности моделирования можно в первом приближении воспользоваться статистической величиной , полученной в серии реализации
Если точность окажется недостаточной, следует продолжить испытания, внося в среднее квадратическое отклонение соответствующие поправки по мере увеличения числа реализаций. Таким образом, процедура установления необходимого числа реализаций в данном случае двухвыборочная. Для каждого исследуемого варианта вначале проводится пробная серия прогонов модели и по накопленным статистическим данным оцениваются среднее арифметическое и дисперсия исследуемой величины. Если их точность недостаточна, моделирование продолжается.
Во втором случае алгоритм последовательных оценок прогонов модели исходит из следующего. Так как в переходном режиме работы сортировочных станций случайные величины оценок большинства показателей на фиксированные моменты времени распределены по нормальному закону, то:
.
При заданном и пределе :
,
откуда:
.
Это условие проверяют периодически после определенного числа реализаций или после каждой из них и, если оно выполнено, прекращают прогоны модели. Оценки математических ожиданий и дисперсий исследуемых статистических величин на фиксированные моменты времени находят по формулам:
;
.
Следует заметить, что если моделирование начинается без вхождения модели в стационарный режим, то это отразится на его результатах. Причем чем меньше число прогонов модели тем больше величина ошибки. В принципе можно отказаться от вхождения модели в стационарный режим, увеличив число ее реализаций. В этом случае величина ошибки будет уменьшаться с каждым последующим прогоном модели.
Стационарный режим исследуемого объекта можно заложить в алгоритме еще до начала процесса моделирования. Для этого необходимо задать одно из его возможных вероятностных состояний (или каждого элемента, входящего в рассматриваемый объект). Например при моделировании накопления составов в сортировочном парке было бы ошибкой на начальной стадии моделирования принять свободными все сортировочные пути. Очевидно, что такая ситуация маловероятна. Точно также маловероятным является принятие максимального заполнения всех путей парка. Более или менее правомерным было бы принятие на каждом сортировочном пути числа вагонов равным половине величины накапливаемых составов, хотя и вероятность такого события несоизмеримо мала. Однако поскольку число вагонов, находящихся на каждом пути в данный момент времени может быть заключено в пределах (где - максимальная величина состава в вагонах) и является случайным равновероятным событием, первоначальное заполнение каждого сортировочного пути можно определить из выражения:
,
где - случайное число, равномерно распределенное в интервале [0,1].
Если же характер распределения случайной величины, необходимой для определения начальной стадии состояния исследуемого объекта, подчиняется какому-либо аналитическому (или эмпирическому) закону, то числовая характеристика стационарного режима также может быть получена путем моделирования возможного значения этой величины. Основные положения такого моделирования будут рассмотрены в следующем параграфе.
В ряде случаев можно вообще правомерно отказаться от вхождения моделируемого объекта или некоторых его элементов в стационарный режим, приняв за основу "нулевое состояние системы". Это возможно в тех случаях, когда вероятность "нулевого состояния" составляет значительную величину (более 0.3) или заложена в самой технологии работы рассматриваемого объекта (например, когда режим его работы детерминированный). Например, моделируя работу грузового фронта, имеющего некруглосуточный режим функционирования, можно в начальный момент принять свободными все его механизмы, что соответствует действительности.
На завершающей стадии реализации статистической модели производится анализ результатов моделирования. Он может выполняться в форме построения необходимых диаграмм и графиков, или путем простого сопоставления выходных данных, полученных при различных исходных параметрах.
Одним из способов проверки адекватности построенной модели реалным условиям функционирования объекта, является сопоставление выходных данных, полученных для существующих параметров объекта с отчетными показателями. Например для подсистемы сортировочной станции "Прилегающий перегон – парк приема – горка" результаты моделирования числа задержек поездов по неприему, средний простой составов в парке приема и др. могут сравниваться с реальными отчетными данными. В случае значительного расхождения параметров между собой следует принять меры к повышению точности моделирования путем замены аналитических соотношений, недостаточно точно характеризующих тот или иной процесс, на эмпирические, уточнения законов распределения случайных величин и т.п.
Как уже отмечалось, принцип статистического моделирования требует многократного повторения эксперимента с независимыми выборками случайных чисел. Случайными называются числа, равномерно распределенные в интервале от 0 до 1. При этом вероятность последовательного появления двух одинаковых (или близких по значению) чисел стремиться к 0.
Таблица случайных чисел может быть использована только при "ручном" моделировании. В большинстве случаев статистическое моделирование производится на ПЭВМ в соответствии с разрабатываемыми программами. В этом случае для генерирования случайных чисел могут использоваться специальные стандартные подпрограммы. Во многих алгоритмических языках для генерирования случайного числа имеются соответствующие операторы. Например, в языке программирования BASIC инициализирует генератор случайных чисел оператор RANDOMIZE (RND).
Таким образом, случайные числа используются для моделирования случайных величин. Собственно моделирование случайных величин можно производить по формулам, соответствующим тому или иному закону их распределения.
Так, моделирование случайных величин, имеющих показательное или эрланговское распределение, производится по формуле:
, (1)
где - математическое ожидание случайной величины;
- параметр распределения Эрланга (при показательном распределении случайной величины ).
Для формирования последовательности интервалов (в часах) с законом распределения Эрланга соотношение (1) может быть представлено в виде:
,
где - среднечасовая интенсивность потока.
Совокупность случайных величин с заданным нормальным законом распределения получают способом, основанным на центральной предельной теореме вероятностей. Согласно ей при сложении достаточно большого числа случайных величин, сравнимых по дисперсиям, получается случайная величина, распределенная приближенно по нормальному закону. Опыт показывает, что случайная величина, которая с точностью, достаточной для большинства прикладных задач, может считаться нормальной, получается при сложении всего шести случайных чисел от 0 до 1. Значение такой случайной величины с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением определяется по формуле:
. (2)
Чтобы получить совокупность нормально распределенных случайных величин, необходимо просто осуществить требуемое число вычислений по формуле (2). Если же величины зависимы, то при каждом последующем вычислении надо использовать те значения случайной величины, которые были получены ранее.
При известном значении коэффициента вариации случайных величин, имеющих нормальный закон распределения, их моделирование может осуществляться по формуле:
.
Случайные величины имеющие равномерное распределение можно моделировать по формуле:
,
где - максимальное и минимальное значения равномерно распределенной случайной величины.
Моделирование случайных величин, распределенных по биномиальному, полиномиальному и другим законам для дискретных случайных величин, а также случайных величин, статистическое распределение которых не описывается ни одним из известных законов, может производиться на основе построения оси вероятностей (1).

Ось вероятностей заключена в пределах от 0 до 1 и представляет собой прямую, разделенную на количество отрезков, соответствующее числу возможных значений случайной величины. Границами отрезков являются накопленные частости , а их длины соответствуют частости появления того или иного значения случайной величины .

Процесс моделирования происходит следующим образом: из таблицы случайных чисел выбирается любое число и анализируется, на какой отрезок оно "попало"; значение случайной величины, соответствующее данному отрезку и является смоделированной величиной.

Ось вероятностей представляет собой "развернутый" вариант статистической функции распределения случайной величины (рис.2). В первоначальном виде принцип моделирования состоит в следующем. Случайное число помещают на ось ординат и из данной точки проводят прямую, параллельную оси абсцисс до пересечения с кривой функции распределения. Затем из точки пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс, на которой и отображаются значения случайной величины.