Matematik analiz ” kafedrasi “Matematik analiz” fanidan kurs ishi mavzu

2.3.Eyler integrallarining akademik litsey kursiga tadbiqi.
Endi biz bu yerda Eyler integrallari yordamida akademik litsey kursida uchrab turadigan ba’zi integrallarni hisoblash uchun quyidagi misollarni ko’rib chiqamiz.
1-Misol.

Integralni hisoblaymiz.
Yechilishi. 1-usul. Berilgan integralni eng avval akademik litsey kursida hisoblaymiz. Buning uchun litsey o’quvchisi integral ostidagi ifodani qisqa ko’paytirish formulasidan foydalanib, ko’phad ko’rinishiga yozib, hisoblaydi, ya’ni

2-usul.Endi yuqoridagi integralni Eyler integrallari yordamida hisoblashga o’tamiz. Bunda berilgan integralga e’tibor beradigan bo’lsak, u 1- tur Eyler integrali bo’lgan beta funksiyani ifoda qilayotganini payqash qiyin emas, ya’ni

bo’ladi. Hosil bo’lgan B(3,4) funksiyaning qiymatini

formulalardan foydalanib, osonlik bilan hisoblaymiz.

Demak, berilgan integralning qiymati ikkala usul bilan ham yechganda ga teng bo’ladi.
2-Misol
integralni hisoblang.
Yechilishi . 1-usul. Litsey o’quvchisi bu integralni hisoblashi uchun Nyuton binomi formulasini bilishiga to’g’ri keladi. Aks holda integral ostidagi ifodani ko’p had ko’rinishiga keltirish uchun bir qancha qiyinchiliklarga uchraydi. Quyidagi Nyuton binomi formulasiga asosan berilgan integralni hisoblaymiz.

Demak,

2-usul. Berilgan integralga Eyler integrallarni tadbiq etamiz.

Shunday qilib, integralning qiymati ga teng ekanligini topdik.
3- Misol.

integralni hisoblaymiz.
Yechilishi. Bu integralning akademik litsey kursida hisoblash uchun litsey o’quvchisi ikkilangan burchak sinusi formulasidan foydalanib, integral ostida berilgan ifodani bitta funksiyaga keltiradi va darajani pasaytirish formulasini qo’llab, hisoblaydi.

2- usul Endi berilgan integralni Eyler integrallari yordamida hisoblaymiz. Bunda
quyidagi almashtirishlarni bajaramiz.

integralni hosil qilamiz Bu integralda yana almashtirish usulini qo’llab, berilgan integralning qiymatini topamiz, ya’ni

Demak, integrakning qiymati
4-Misol.

Yechilishi. Berilgan egri chiziqlarni tenglashtirib, kesishish nuqtalarini topamiz va grafigini yasaymiz.


1

x

0

-1

y=x²

y
Ma’lumki, ta’lab qilingan shaklning yuzi aniq integral bilan topiladi.




y=x³


2-chizma. y=x³ va y=x² funksiyalarining grafigi




Endi bu integralni Eyler integrallari bilan hisoblaymiz.

Demak, shaklning yuzi
5-Misol.

Integralni hisoblang.
Yechilishi. 1-usul. Bu usulda integral akademik litsey programmasida quyidagicha topiladi.

2-usul. Berilgan integral Eyler integrallari orqali quyidagicha hisoblanadi ya’ni

Endi (1.2.5) , (1.3.1) formulalarni qo’llab, ) funksiyaning qiymatini topamiz.

Demak, berilgan misolning javobi;

Xulosa.
Ikkinchi bobda yuqorida ko’rib o’tilgan bobning birinchi paragrafida integrallarning muhim xossalaridan foydalanib adabiyotlardagi qiziqarli va bir muncha murakkabroq bo’lgan turli xil integrallarni hisoblashga doir yigirmadan ortiq misollar yechib ko’rsatildi.
Shu bobning ikkinchi paragrafida esa Eyler integrallarining akademik litsey kursidagi integrallarni hisoblashga doir bir qator misollarga tadbiq qilindi.
Bu yerda har bir integralni ikki usul bilan , ya’ni akademik litsey programmasi asosida va Eyler integrallari bilan yechib ko’rsatildi.

Xotima.

1. 
   Kurs malakaviy ishimda matematik analiz kursining muhim bo’limi hisoblangan Eyler integrallarining nazariyasini berdim.
   
2. 
   Beta funksiya va gamma funksiyalarni ta’rifini keltirib, ularning muhim xossalarini qat’iy matematik isboti bilan keltirib o’tdim.
   
3. 
   Beta funksiyaning xususiy holda uzluksiz hosilalarga ega ekanligini ko’rsatib o’tdim.
   
4. 
   Beta va gamma funksiyalar orasidagi bog’lanishni ifodalovchi tenglikni keltirib chiqardim. Unga doir misol keltirib o’tdim.
   
5. 
   Eyler integrallarining tadbiqiga doir adabiyotlarda berilgan birmuncha murakkab bo’lgan misollarni yechib ko’rsatdim.
   
6. 
   Kurs malakaviy ishimning asosiy qismi Eyler integrallarining akademik litsey kursidagi integrallarni hisoblashga doir bir qator misollarga tadbiqini birib o’tdim.
   

Bu bitiruv malakaviy ishimdan oliy o’quv yurtining talabalari foydalanishlari mumkin deb o’ylayman.