Matematik analiz ” kafedrasi “Matematik analiz” fanidan kurs ishi mavzu

4⁰. Баъзи хосмас интегралларнинг қийматлари. Қуйида баъзи хосмас ин­тег­ралларнинг қийматларини келтирамиз:
1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
6. ,
7. ,
8. ,
9. .

2.2. Eyler integrallari yordamida aniq integrallarni hisoblashga doir misollar.
Bu bo’limda Eyler integrallarining asosiy xossalaridan foydalanib, adabiyotda berilgan bir qator integrallarga doir misollar yechib ko’rsatiladi.
1-misol.

tenglikning to’g’riligini isbot qiling.
Yechilishi. Berilgan integrallarda x⁴=t belgilash kiritib, bundan

Shunday qilib, tenglik isbot qilindi. Bu yerda (1.2.3), (1.3.1) va (1.3.3) formulalardan foydalanildi.
2-Misol.

tenglikning to’g’riligini isbotlang.
Yechilishi. O’zgaruvchilarni almashtirish usulidan foydalanib, integralni hisoblaymiz.

Bu integralda almashtirishlarni bajarib, quyidagini topamiz.

3-Misol. Eyler integrallaridan foydalanib , quyidagi integralning qiymatini toping.


Endi (1.2.3), (1.3.1), (1.3.3) formulalardan foydalanib, ning qiymatini topamiz, ya’ni

Binobarin, berilgan integralning qiymati
4-Misol.

integralni hisoblang.
Yechilishi. Berilgan integralni hisoblashda beta funksiyaning ikkinchi formulasi (1.1.4) dan foydalanib, quyidagicha yozib olamiz.

Endi ning qiymatini (1.3.1), (1.3.3) formulalar bilan topamiz.

5-Misol.

Integralning qiymatini toping.
Yechilishi: almashtirish bajarib, berilgan integralni hisoblaymiz.

6-misol.

n>0 integralni hisoblang.
Yechilishi. Berilgan integralda almashtirish bajarib berilgan integralni hisoblaymiz.

7-misol.

integralni hisoblang.
Yechilishi. Bu integralni hisoblash uchun belgilash usulidan foydalanamiz.

8-Misol.

0 <1 integralning qiymatini toping.
Yechilishi. t=tg o’zgaruvchini kiritib,

munosabatlarni topamiz. Bundan,

integralni hosil qilamiz. Bunda belgilashni kiritib, integralni quyidagicha topamiz.

9- misol.

funksiyaning qiymatini toping.
Yechilishi. Berilishiga qraganda I(a) funksiya funksiyadan olingan hosilaga tengligi ko’rinadi. Bundan (1.1.5) ga asosan izlanmoqda bo’lgan I(a) funksiyaning qiymatini topamiz. Ya’ni

10 – misol.

Integralni hisoblang.
Yechilishi. Berilgan integralda quyidagicha belgilash kiritamiz.

Bu integralda esa
dt integraldan ikkinchi marta a bo’yicha hosila olib, a= qo’yilsa, hosil bo’ladi. demak,

Shunday qilib, misolning javobi
11-Misol.

Integralning qiymatini toping.
Yechilishi. sinx= almashtirish natijasida integral quyidagi ko’rinishga keladi.

Bunda (1.2.7) formuladan foydalandi.
12-Misol.

Eyler integrallaridan foydalanib, ushbu integralni topamiz.
Yechilishi. Berilgan integralni quyidagicha yozib belgilash kiritamiz.

Demak, berilgan integralning javobi:
13- misol.

(n N) Eyler integrallaridan foydalanib, ushbu integralni topamiz
Yechilishi. Berilgan integralni quyidagicha yozib, belgilash kiritamiz

Berilgan integralning javobi
14-misol.

Eyler integrallaridan foydalanib, ushbu integrallarni topamiz.
Yechilishi almashtirish natijasida integral quyidagi ko’rinishga keladi.

(1.1.5) formuladan foydalanamiz

Shunday qilib, misolning javobi
15 misol.

Eyler integrallari yordamida ushbu integralni hisoblaymiz.
Yechilishi. almashtirish natijasida integral quyidagi ko’rinishga keladi.

Demak, berilgan integralning javobi

16 Misol.

Eyler integrallaridan foydalanib hisoblaymiz..
Yechilishi. Buning uchun sinx= (t>0) belgilash kiritamiz va integral quyidagi ko’rinishga keladi.

17-Misol.

E yler integrallaridan foydalanib hisoblaymiz
.
Yechilishi. Buning uchun x= belgilash kiritamiz va integral quyidagi ko’rinishga keladi.

Demak, berilgan integralning javobi,

18-Misol.

Eyler integrallari yordamida ushbu integralni hisoblaymiz.
Yechilishi. Berilgan integralni quyidagicha yozib, belgilash kiritamiz



19-Misol.

Eyler integrallaridan foydalanib, ushbu integralni topamiz
Yechilishi. Bu integralni hisoblash uchun belgilash usulidan foydalanamiz.

Agar b=1 bo’lsa,

Agar a=1+ bo’lsa u holda,

20-Misol.

Eyler integrallari yordamida ushbu integralni hisoblaymiz
Yechilishi. Bu integralni hisoblash uchun belgilash usulidan foydalanamiz.

Demak, berilgan integralning javobi,
21-Misol.

Berilgan integralni quyidagicha yozib, belgilash kiritamiz

Demak, berilgan integralning javobi
22- Misol.

Eyler integrallari yordamida ushbu integralni hisoblaymiz
Yechilishi. Berilgan integralni quyidagicha yozib, belgilash kiritamiz

Demak, berilgan integralning javobi