Matematik fizika tenglamalari

Matematik fizika tenglamalari.
Agar orqali torning nuqtasida vaqtda o‘tkazilgan urinmasini o‘qining musbat yo‘nalishi bilan tashkil etgan burchagini belgilasak u holda torning kichik tebranishi
(135)
ekanligini ko‘zda tutadi.
ning Makloren qatoriga yoyilmasiga asosan

demak (135) shartga asosan
(136)
Bu erdan

demak .

bu erdan

Lekin


Bu erda

ya’ni kichik tebranishlar tor qisimlari cho‘zilmaydi va qisqarmaydi.
Topshiriqlar.
Tenglamalarni kanonik ko’rinishga keltiring:
1. ;
2. ;
3. .
4. Agar ekani ma’lum bo’lsa, tenglama yechimini toping.
5. Agar ekani ma’lum bo’lsa, tenglama yechimini toping.
6. Agar ekani ma’lum bo’lsa, tenglama yechimini toping.
7. Agar ekani ma’lum bo’lsa, tenglama bilan aniqlanuvchi torning dagi shaklini toping.
8. Agar ekani ma’lum bo’lsa, tenglama bilan aniqlanuvchi torning dagi shaklini toping.
9. Uzunligi ga teng, tashqi muhit ta’siridan muhofazalangan va

boshlang’ich temperaturaga ega bo’lgan bir jinsli sterjen berilgan. Sterjinning oxirlari nolga teng temperaturada tutib turiladi. Issiqlik o’tkazish tenglamasi yechimini toping (sterjinning vaqtdagi temperaturasini aniqlang).
10. Agar uzunligi ga teng sirti issiqlikdan muhofazalangan sterjenning boshlang’ich tempereturasi

bo’lib, sterjenning uchlari ham issiqlikdan muhofazalangan bo’lsa, shu sterjenda issiqlik taqsimlanishini toping.
Tenglamalarni Fure usulida yechish.



torning ko’ndalang tebranishi, sterjinning bo’ylama tebranishi, provoddagi elektr tebranishi, valning aylanma tebranishi, gazning tebranishi va boshsa turli amaliy masalalarni echishda bu tenglamaga kelinadi. Bu tenglama oddiy giperbolik tenglama hisoblanadi.
Issiqlik o’tkazuvchanlik yoki Fure tenglamasi.

Bu tenglamaga issiqlik tarqalishi, suyuqlik va gazlarning filtrlanishi, ehtimollik nazariyasining ba'zi masalalarini o’rganish borasida duch kelamiz. Bu tenglama oddiy parabolik turdagi tenglamaga misol bo’ladi.
Laplas tenglamasi.

Bu tenglamaga, elektr va magnit maydoni masalalari, gidrodinamika masalalari, diffuziya masalalari va hakozalarni o’rganishda duch kelinadi. Bu tenglama elliptik turdagi tenglamadir.
Matematik fizikada tor deganda, cheksiz ingichka ipni tushunamiz, u erkin egilishi va faqat cho’zilishga ishlashi mumkin. Vaqtning ixtiyoriy momentida torda hosil bo’luvchi kuchlanish, unga o'tkazilgan urinma bo’ylab yo'nalgan. Faraz qilaylik tor 1-chizmadagi kabi joylashgan va uning uchlari x=0 va x=l nuqtalarda maќkamlangan bo’lsin.
Torning boshlang’ich nuqtasiga biror tezlik berilsa. Yoki ularning holatini boshlanђich holatidan chisarilsa, u tebranadi. Asosiy masala tor formasini vastning ixtiyoriy siymatida anislash va uning ixtiyoriy nustasi harakatini vastga bog’liqligini o’rganishdan iborat.
Torning juda kichik tebranishini saraylik, vastning ixtiyoriy siymati t da uning ќolati u(x;t) funksiya bilan anislanadi va u torning x absissasi nustasini vastning t momentdagi ko’chishi kattaligini xarakterlaydi.
Topshiriqlar.
Tenglamalarni kanonik ko’rinishga keltiring:
1. ;
2. ;
3. .
4. Agar ekani ma’lum bo’lsa, tenglama yechimini toping.
5. Agar ekani ma’lum bo’lsa, tenglama yechimini toping.