Matematik kutilma

Еhtimollikning zichlik funksiyasi va uning xossalari.

Biz uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimot funksiyasi orqali aniqlagan еdik. Bu aniqlash yagona bо’lmay, uzluksiz tasodifiy miqdorni ehtimollikning zichlik funksiyasi orqali ham aniqlash mumkin.

Ta’rif:
Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi - differensiallanuvchi bо’lsa, u holda uning ehtimolligining zichlik funksiyasi deb taqsimot funksiyadan olingan hosilaga aytamiz:
(1)

Demak, taqsimot funksiyasi zichlik funksiyaning boshlang’ichi еkan.

Zichlik funksiyaning asosiy xossalari:

Teorema 1

Ixtiyoriy x - lar uchun va
(2).
Isboti:
funksiya kamayyuvchi bо’lgani uchun:

(2) tenglik quyidagi munosabatlardan kelib chiqadi.

(1) - Nyuton - Leybnis formulasiga asosan.

Teorema 2

Agar - zichlik funksiyasi bо’lsa y holda
Isboti:

Teorema 3
Agar va lar mos ravishda taqsimot funksiyasi va zichlik funksiyalari bо’lsalar u holda:

Isboti:
Xosmas integral ta’rifi va Nyuton - Leybnis formulasiga kо’ra taqsimot funksiyaning xossalaridan quyidagini olamiz:

Misol:
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan. -sonini aniqlang va taqsimot funksiyasining kо’rinishini toping.
Yechish:
- parametrni topish uchun Teorema 2 ni qо’llaymiz:



Bundan еsa kelib chiqadi. Taqsimot funksiyani topish uchun teorema 3 ni qо’llaymiz:

Misol:
- tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi

berilgan. ni toping va - ni hisoblang:
Yechish:


Bundan a=4 kelib chiqadi. ni topamiz: bо’lganda . bо’lganda еsa