Matematik modellashtirish texnologiyasi

Chiziqli va nochiziqli oddiy differensial tenglamalar bilan ifodalangan matematik modellar
Ko‘plab amaliy masalalar nochiziqli tenglamalar sistemasini
yechishga olib kelinadi. Umumiy holda n noma’limli n ta nochiziqli
algebraik yoki transendent tenglamalar sistemasi quyidagicha yoziladi:
ushbu sistemani vektor shaklida quyidagicha yozish mumkin:
f(x)=0
bu yerda – argumentlarning vektor ustuni;
– funksiyalarning vektor ustuni; – transponirlash
operatsiyasi belgisi.
Nochiziqli tenglamalar sistemasi yechimini izlash – bu bitta nochiziqli
tenglamani yechishga nisbatan ancha murakkab masala. Bitta tenglamani yechish uchun qo‘llanilgan usullarni nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga umumlashtirish juda ko‘p hisoblashlarni talab qiladi yoki uni amaliyotda qo‘llab bo‘lmaydi. Xususan, bu oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuliga tegishli. Shunga qaramasdan nochiziqli tenglamani yechishning bir qator iteratsion usullarini nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga umumlashtirish mumkin.


Issiqlik tarqalish tenglamasi

tenglamani va


Shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtaga xos bir jinsli tenglama yechimi topilsin (aynan nolmas).
Bu masala yechimini ko‘rinishida axtaramiz.
(4) ni (1) ga qo‘yamiz:

(5) ifodani (4) ga bo‘lamiz.

(6) ning chap va o‘ng tomonini alohida o‘zgaruvchilardan iborat bo‘lgani uchun (6) tenglik
yoki hamda
larga ega bo‘lamiz.
Bu tengliklar λ >0 uchun o‘rinli.. Shuning uchun ning o‘rniga yozamiz.
Bu tenglamalarni (2)-(3)-shartlarda qarasak, oddiy differensial tenglama uchun quyidagi Shturm-Luivill masalasini hosil qilamiz:
(I)
(II)
Navbatda (I) va (II) Shturm-Luivill masalalarini yechamiz. Dastlab (II) ni yechamiz. (II) ning yechimi , (9) bo‘lsin. Bu yerda k hozircha noma’lum son-parametr. (9) ni (II) ning 1-tenglamasiga qo‘yamiz.
=> => =>
Eyler formulasiga ko‘ra ( :


Yuqoridagilardan (10)
kelib chiqadi. X(0)=0 chegaraviy shartni (1) tenglamaga qo‘ysak, X(0)= cos + sin va sin hamda cos ekanligidan A=0 kelib chiqadi. Bundan ko‘rinadiki
X(x)=Bsin (11).
X(l)=0 chegaraviy shartni (11) tenglamaga qo‘yib, X(l)=Bsin =0 tenglikni hosil qilamiz. B 0 ekanligidan sin =0 hosil bo‘ladi. Bundan ni topsak:
.
Hosil bo‘lgan ning qiymatini (11) tenglamaga qo‘yib,
X(x)=sin (12) ifodani hosil qilamiz.
Huddi shunday T(t)= almashtirish olib, T(t) funksiyani topamiz. bo‘lgani uchun T(t) funksiya sonli qator ko‘rinishida hosil bo‘ladi. X(x) va T(t) funksiyalarni (1) tenglamaga olib borib qo‘ysak,
U(x,t)= (13)
va f(x,t) uchun f(x,t)= (14)
Furye qatorlarini hosil qilamiz. (14) tenglikdan Furye koeffitsientini topamiz:
(15)
Bu qiymatlar ((13), (14)) ni (1) ga qo‘ysak,
(16)
tenglik hosil bo‘ladi. ekanligidan,
=0 (17)
tenglama kelib chiqadi. (17) tenglamaning yechimi oddiy differensial tenglamalar kursidan bizga ma’lum.

Belgilashlar kiritib, (17) tenglamani ishlaymiz.
U’+AU-f=0 (18)
U(t)=g(t) v(t) (19) desak, U’(t)=g’(t) v(t)+v’(t) g(t) (20) bo‘ladi. (19) va (20) ni (18) tenglamaga olib borib qo‘yib, g va v ni topamiz.
g’v+v’g+Agv-f=0
g’v+(v’+Av)g-f=0
v’+Av=0
=-Av => =-A => ln(v)=-A(t+ ) => v=
g’v-f=0
= => dg=f dt => g= d
v va g funksiyalarni (19) tenglamaga qo‘ysak,

(21) ni (13) ga qo‘yib, yechimni

ko‘rinishda yozish mumkin.
Bunda belgilash kiritsak, (o‘rta qiymat haqidagi teoremaga ko‘ra) [ ]
va ning qiymatini U(x,t) ga qo‘ysak,
U(x,t)= d .


Matematik modellarga misollar V boshlang‘ich tezlik va a tezlanish bilan harakatlanayotgan jismning t vaqtida bosib o‘tgan yo‘lini hisoblash uchun tenglamadan foydalaning:
(1)

1. 
   tenglama jismning bir tekis tezlashtirilgan harakati modelidir
   

2. 
   Nochiziqli masalalarni echishning hisoblash usullari va algoritmlari