Matematik statistika asosiy masalalari

2-bayoni bayoni

Biror tasodifiy miqdor ustida n marta kuzatish o‘tkazib,

(1)
natijalar olingan bo‘lsin, u holda biz tanlanma to‘plamga ega bo‘lamiz. Тajribalar bir хil sharoitda, bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan holda o‘tkazilgan deb faraz qilinadi. Ma’lumki, tajriba natijalari (1) ya’ni 1-tajriba natijasi (1-o‘rinda yozilgan), 2-tajriba natijasi (2-o‘rinda yozilgan), …, n-tajriba natijasi (n-o‘rinda yozilgan) bo‘lib, ular son qiymatlari bo‘yicha tartibsiz joylashgan bo‘lishi mumkin.
Agar tanlanma to‘plam qiymatlar bo‘yicha o‘sish (yoki kamayish) tartibida
(yoki )
kabi joylashtirilsa,

variatsion qator deyiladi.
(1) tanlanma to‘plamdagi lar variantalar deyiladi.
Agar tanlanmada varianta marta, varianta marta, ..., varianta marta (bu yerda ) kuzatilgan bo‘lsa, u holda

sonlar chastotalar,

sonlar esa nisbiy chastotalar deyiladi. Ravshanki,

bo‘ladi.
Тanlanmaning statistik yoki empirik taqsimoti deb variantalar va ularga mos chastotalar yoki nisbiy chastotalardan iborat ushbu jadvalga aytiladi:
yoki .
1-misol. Тanlanma chastotlarining empirik taqsimoti berilgan:

Nisbiy chastotalarni toping.
Yechish.
.

Shu bilan birga 0,1+0,2+0,3+0,4=1.
Тa’rif. Тanlanmaning empirik taqsimot funksiyasi deb х ning har bir qiymati uchun quyidagicha aniqlangan funksiyaga aytiladi:
,
bunda – qiymatdan kichik bo‘lgan variantalar soni; – tanlanmaning hajmi.
Тanlanmaning empirik funksiyasidan farqli bosh to‘plam uchun aniqlangan ushbu funksiya nazariy taqsimot funksiyasi deb ataladi. Empirik va nazariy taqsimot funksiyalar orasidagi farq shundaki, nazariy taqsimot funksiya hodisa ehtimolligini, empirik taqsimot funksiya esa shu hodisaning nisbiy chastotasini aniqlaydi. Bernulli teoremasidan kelib chiqadiki, hodisa nisbiy chastotasi, ya’ni shu hodisaning ehtimolligiga ehtimollik bo‘yicha yaqinlashadi. Boshqacha so‘z bilan aytganda va funksiyalalar bir-biridan kam farq qiladi. Shu yerning uzidanoq, bosh to‘plam taqsimotining nazariy funksiyasini taqribiy tasvirlashda tanlanma taqsimotining empirik funksiyasidan foydalanish maqsadga muvofiq bo‘lishi kelib chiqadi.
Yuqoridagi mulohazalardan, quyidagi teoremaning o‘rinli ekanini ko‘rish qiyin emas.
1-teorema. Biror tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo‘lsin, bu tasodifiy miqdor ustida o‘tkazilgan ta o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan kuzatishlar natijalarining empirik taqsimot funksiyasi bo‘lsin. U holda ixtiyoriy ( ) va ixtiyoriy uchun
.
Demak, agar tanlanma hajmi katta bo‘lsa empirik taqsimot funksiyasining nuqtadagi qiymatini, nazariy taqsimot funksiyaning shu nuqtadagi qiymati uchun baho sifatida qabul qilinishi mumkin ekan.
2-teorema (Glivenko-Kantelli). Biror tasodifiy miqdorning nazariy taqsimot funksiyasi va empirik taqsimot funksiya bo‘lsin, u holda da
.
Boshqacha qilib aytganda, yetarlicha katta hajmdagi tanlanamlar uchun empirik taqsimot funksiyaning nazariy taqsimot funksiyadan chetlanishi

1 ehtimollik bilan hohlagancha kichik bo‘ladi.